Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)
I'<290 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS(Figura 7 .23c). Se os momentos dessas forças forem somadosao redor do ponto A, podemos ver que o conjugadoou torque criado pelas forças na aba é responsávelpela torção do elemento. A torção verdadeira é nosentido horário quando vista da frente da viga, comomostra a Figura 7.23a, já que as forças de reação de"equilíbrio" interno Faba provocam a torção. Portanto,para impedir essa torção, é necessário aplicar P a umponto O localizado à distância e da alma do perfil (Figura7.23d). Exige-se !.M A = Fabad = Pe ouPelo método discutido na Seção 7.5, F.,ba pode seravaliada em termos de P ( = V) e das dimensões dasabas e da alma. Isso feito, então, P será cancelada apósa substituição na equação acima, o que possibilitaráexpressar e simplesmente em função da geometria daseção transversal e não em função de P ou de sua localizaçãoao longo do comprimento da viga (ver Exemplo7.9). O ponto O assim localizado é denominado centrode cisalhamento ou centro de flexão. Quando Pé aplicadano centro de cisalhamento, a viga sofrerá flexão semtorção, como mostra a Figura 7.23e. Os manuais de projetocostumam apresentar listas com a localização desseponto para vários tipos de vigas com seções transversaisde paredes finas comumente utilizadas na prática.Ao fazermos essa análise, devemos observar que ocenti·o de cisalhamento sempre estará localizado sobreum eixo de simetria da área da seção transversal de umelemento. Por exemplo, se girarmos de 90° o perfil naFigura 7.23a e P for aplicada em A (Figura 7.24a), nãoocorrerá nenhuma torção, visto que o fluxo de cisalhamentana alma e nas abas para esse caso é simétrico eportanto, as forças resultantes nesses elementos criarão momentos nulos em torno de A (Figura 7.24b). Éóbvio que, se um elemento tiver uma seção com doiseixos de simetria, como no caso de uma viga de abaslargas, o centro de cisalhamento coincidirá com a interseçãodesses eixos (o centroide ).F,.bade=-pnv=f v=f =(b)Figura 7.24• O centro de cisalhamento é o ponto no qual se pode aplicar uma força que causará a deflexão de uma viga sem provocartorção.• O centro de cisalhamento sempre estará localizado em um eixo de simetria da seção transversal.• A localização do centro de cisalhamento é função ap enas da geometria da seção transversal e não depende doregamento aplicado.pA localização do centro de cisalhamento para um elemento de paredes finas no qual o cisalhamento interno estána mesma direção de um eixo principal do centroide para a seção transversal pode ser determinado pelo procedimentodescrito a seguir.Resultantes do fluxo de cisalhamento" Determine a direção do fluxo de cisalhamento em vários segmentos da seção transversal, faça um rascunho dasforças resultantes em cada segmento da seção transversal. (Por exemplo, veja a Figura 7.23c.) Visto que o centro decisalhamento é determinado pelo cálculo dos momentos dessas forças resultantes em tomo de um ponto (A), escolhaesse ponto em uma localização que elimine os momentos do maior número possível de forças resultantes.
CiSALHAMENTO TRANSVERSAL 291Os valores das forças resultantes que criam um momento em torno de A devem ser calculados. Para qualquer segmento,esse cálculo corresponde à determinação do fluxo de cisalhamento q em um ponto arbitrário no segmentoe à integração de q ao longo do comprimento do segmento. Observe que V criará uma variação linear do fluxo deperpendiculares a V e uma variação parabólica do fluxo de cisalhamento em segmentoscisalhamento em segmentosparalelos ou inclinados em relação a V.Centro de cisalhamento., Some os momentos das resultantes do fluxo de cisalhamento em torno do ponto A e iguale esse momento ao momentode V em torno de A. A resolução dessa equação permite-nos determinar a distância do braço do momento e,que localiza a linha de ação de V em relação a A.., Se existir um eixo de simetria para a seção transversal, o centro de cisalhamento encontra-se no ponto onde esse eixointercepta a linha de ação de V. Contudo, se não exixtir nenhum eixo de simetria, gire a seção transversal de 90° erepita o processo para obter outra linha de ação para V. Então, o centro de cisalhamento encontra-se no ponto deinterseção das duas linhas a 90°.eBI'lli::- ""07! = )012>0;&"' "'cd0;:i,S ="" JP,;ii;;c ,'iií8)Determine a localização do centro de cisalhamentopara o perfil em U de paredes finas cujas dimensões sãomostradas na Figura 7.25a.SOLUÇÃOResultantes do fluxo de cisalhamento. Um cisalhamentovertical para baixo V aplicado à seção provoca o fluxo decisalhamento pelas abas e alma mostrado na Figura 7.25b, oque provoca as forças resultantes Faba e Vcomonas abas e alma,mostra a Figura 7.25c. Os momentos serão calculadosem torno do ponto A porque, assim, teremos de determinarapenas a força Faba na aba inferior.A área da seção transversal pode ser dividida em trêscomponentesque consideramosretângularesque cada-umacomponentealma eé fino,duasoabas.momentoVistode inércia da área em torno do eixo neutro é1 [ (h)2] th2 (hI )= 12 th 3 + 2 bt z = 2 6+ bPela Figura 7 .25d, q na posição arbitrária x éVQq=- =V(h/2)[b - x]tI (th2j2)[(h/6) + b]Por consequência, a força Faba éV(b - x)h[(h/6) + b]Centro de cisalhamento. Somando-se os momentos emtorno do ponto A (Figura 7.25c), exige-se queAssim,Vb2hV e = F.bah = 2h[(h/6) + b]b2e =---[(h/3) + 2b]R espostaComo afirmamos antes, e depende somente da geometriada seção transversal.(a)Distribuição do fluxo de cisalhamento(b)F;b, == oq dx = h [(h/6) + b] Jo (b - x) dx = 2h [(h/6) + b]V {b VbzlbEsse mesmo resultado também pode ser encontrado deterU:inando-se, em primeiro lugar, (qmáx)aba (Figura 7.25b) e, entao,determinando-se a área triangular 112 b(qmáJaba = Faba'(c)Figma 7.25
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CiSALHAMENTO TRANSVERSAL 291
Os valores das forças resultantes que criam um momento em torno de A devem ser calculados. Para qualquer segmento,
esse cálculo corresponde à determinação do fluxo de cisalhamento q em um ponto arbitrário no segmento
e à integração de q ao longo do comprimento do segmento. Observe que V criará uma variação linear do fluxo de
perpendiculares a V e uma variação parabólica do fluxo de cisalhamento em segmentos
cisalhamento em segmentos
paralelos ou inclinados em relação a V.
Centro de cisalhamento
., Some os momentos das resultantes do fluxo de cisalhamento em torno do ponto A e iguale esse momento ao momento
de V em torno de A. A resolução dessa equação permite-nos determinar a distância do braço do momento e,
que localiza a linha de ação de V em relação a A.
., Se existir um eixo de simetria para a seção transversal, o centro de cisalhamento encontra-se no ponto onde esse eixo
intercepta a linha de ação de V. Contudo, se não exixtir nenhum eixo de simetria, gire a seção transversal de 90° e
repita o processo para obter outra linha de ação para V. Então, o centro de cisalhamento encontra-se no ponto de
interseção das duas linhas a 90°.
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0;:i,S ="" JP,;ii;;c ,'iií8)
Determine a localização do centro de cisalhamento
para o perfil em U de paredes finas cujas dimensões são
mostradas na Figura 7.25a.
SOLUÇÃO
Resultantes do fluxo de cisalhamento. Um cisalhamento
vertical para baixo V aplicado à seção provoca o fluxo de
cisalhamento pelas abas e alma mostrado na Figura 7.25b, o
que provoca as forças resultantes Faba e V
como
nas abas e alma,
mostra a Figura 7.25c. Os momentos serão calculados
em torno do ponto A porque, assim, teremos de determinar
apenas a força Faba na aba inferior.
A área da seção transversal pode ser dividida em três
componentes
que consideramos
retângulares
que cada
-uma
componente
alma e
é fino,
duas
o
abas.
momento
Visto
de inércia da área em torno do eixo neutro é
1 [ (h)2] th2 (h
I )
= 12 th 3 + 2 bt z = 2 6
+ b
Pela Figura 7 .25d, q na posição arbitrária x é
VQ
q=- =
V(h/2)[b - x]t
I (th2j2)[(h/6) + b]
Por consequência, a força Faba é
V(b - x)
h[(h/6) + b]
Centro de cisalhamento. Somando-se os momentos em
torno do ponto A (Figura 7.25c), exige-se que
Assim,
Vb2h
V e = F.bah = 2h[(h/6) + b]
b2
e =
---
[(h/3) + 2b]
R esposta
Como afirmamos antes, e depende somente da geometria
da seção transversal.
(a)
Distribuição do fluxo de cisalhamento
(b)
F;b, == o
q dx = h [(h/6) + b] Jo (b - x) dx = 2h [(h/6) + b]
V {b Vbz
lb
Esse mesmo resultado também pode ser encontrado deter
U:inando-se, em primeiro lugar, (qmáx)aba (Figura 7.25b) e, entao,
determinando-se a área triangular 112 b(qmáJaba = Faba'
(c)
Figma 7.25