Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

14 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
1.33. Um elemento diferencial tomado de uma barra curvada
é mostrado na figura. Mostre que dN/d() = V, dV/d() =
-N, dM/d() = -Te dT/d() = M.
1.3 Te nsão
PI·oblema 1.33
Na Seção 1.2 dissemos que a força e o momento
que agem em um ponto específico da área secionada
de um corpo (Figura 1.9) representam os efeitos resultantes
da distribuição de forças que agem sobre a
área secionada (Figura 1.10a). Obter essa distribuição
da carga interna é de suma importância na resistência
dos materiais. Para resolver esse problema, é necessário
estabelecer o conceito de tensão.
Considere que a área secionada está subdividida
em pequenas áreas, como M sombreada em tom mais
escuro na Figura 1.10a. À medida que reduzimos M
a um tamanho cada vez menor, temos de adotar duas
premissas em relação às propriedades do material.
Consideraremos que o material é contínuo, isto é, possui
continuidade ou distribuição uniforme de matéria
sem vazios, em vez de ser composto por um número
finito de moléculas ou átomos distintos. Além disso, o
material deve ser coeso, o que significa que todas as
suas porções estão muito bem interligadas, sem trincas
ou separações. Uma força típica finita F, porém muito
Figura 1.9
pequena, agindo sobre a área Ma ela associada, é mostrada
na Figura 1.10a. Essa força, como todas as outras,
terá uma direção única, mas, em nossa discussão, nós a
substituiremos por suas três componentes, a saber, Fx,
F e F z' tangentes e normais à área, respectivamente.
' y
A medida que a área M tende a zero, o mesmo ocorre
com a força F e suas componentes; porém, em geral,
o quociente entre a força e a área tenderá a um limite
finito. Esse quociente é denominado tensão e, como já
observamos, descreve a intensidade da força interna sobre
um plano especifico (área) que passa por um ponto.
Te nsão normal.
A intensidade da força, ou força
por unidade de área, que age perpendicularmente à
M, é definida como tensão normal, a (sigma). Visto
que Fz é normal à área, então
. F z
az = hm A A (1.4)
AA--->0 /..l
Se a força normal ou tensão tracionar o elemento
de área M, como mostra a Figura 1.10a, ela será
denominada tensão de tração, ao passo que, se comprimir
o elemento A, ela será denominada tensão
de compressão.
Tensão de cisalhamento. A intensidade da força,
ou força por unidade de área, que age tangente a M,
é denominada tensão de cisalhamento, 7 (tau).Aqui estão
as componentes da tensão de cisalhamento:
. Fx
7 zx = hm
• A
AA--->0 /..l A
. Fy
7 zy = hm A
AA--->0 /..l A
(1.5)
Observe que a notação do índice z em az é usada
para indicar a direção da reta normal dirigida para
fora, que especifica a orientação da área A (Figura
1.11). São usados dois índices para as componentes da
tensão de cisalhamento, 7 e 7 . O eixo z especifica a
ZX Z)'
orientação da área ex e y referem-se às retas que indicam
a direção das tensões de cisalhamento.
Estado geral de tensão. Se o corpo for ainda
mais secionado por planos paralelos ao plano x-z
(Figura 1.10b) e pelo plano y-z (Figura 1.10c), então
podemos "cortar" um elemento cúbico de volume de
material que representa o estado de tensão que age
em torno do ponto escolhido no corpo (Figura 1.12).
Assim, esse estado de tensão é caracterizado por três
componentes que agem em cada face do elemento.
Essas componentes da tensão descrevem o estado de
tensão no ponto somente para o elemento orientado
ao longo dos eixos x, y, z. Se o corpo fosse secionado
em um cubo que tivesse alguma outra orientação,