Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

CiSALHAMENTO TRANSVERSAL 263
(a) Antes da deformação
(b) Após a deformação
Figura 7.3
Lembre-se de que, no desenvolvimento da fórmula
da flexão, consideramos que as seções transversais
devem permanecer planas e perpendiculares ao eixo
longitudinal da viga após a deformação. Embora essa
regra seja infringida quando a viga é submetida a cisalhamento
e também a flexão, de modo geral, podernos
considerar que a distorção da seção transversal
descrita anteriormente é pequena o suficiente para ser
desprezada. Essa consideração é particularmente verdadeira
para o caso mais comum como de uma viga
esbelta; isto é, uma viga cuja largura é pequena em
comparação com seu comprimento.
Nos capítulos anteriores, desenvolvemos as fórmulas
da carga axial, da torção e da flexão determinando,
em primeiro lugar, a distribuição da deformação
com base em premissas referentes à deformação
da seção transversal. Entretanto, no caso do cisalhamento
transversal, a distribuição da deformação por
cisalhamento ao longo da largura de uma viga não
pode ser expressa facilmente em termos matemáticos.
Por exemplo, ela não é uniforme nem linear para
seções transversais retangulares, como já mostramos.
Portanto, a análise de tensão de cisalhamento citada
será desenvolvida de uma maneira diferente da usada
para estudar os carregamentos anteriores. Especificamente,
desenvolveremos uma fórmula para a tensão
de cisalhamento indiretamente; isto é, usando a fórmula
da flexão e a relação entre momento fletor e
cisalhamento (V = dM/dx).
7.2 A fórmula do cisalhamento
O desenvolvimento de uma relação entre a distribuição
da tensão de cisalhamento que age na seção
transversal de uma viga e a força de cisalhamento
resultante na seção é baseado no estudo da tensão de
cisalhamento longitudinal e nos resultados da Equação
6.2, V = dM/dx. Para mostrar como essa relação
é definida, consideraremos o equilíbrio da força horizontal
de uma porção do elemento retirado da viga na
Figura 7.4a e mostrado na Figura 7.4b. A Figura 7.4c
apresenta um diagrama de corpo livre do elemento que
mostra somente a distribuição de tensão normal que
age sobre ele. Essa distribuição é provocada pelos momentos
fletores M e M + dM. Excluímos o efeito de
V, V + dV e w(x) sobre o diagrama de corpo livre, já
que esses carregamentos são verticais e, portanto, não
estarão envolvidos no somatório de forças horizontais.
Na verdade, o elemento na Figura 7.4c satisfará
!,F" = O desde que a distribuição de tensão de cada
lado do elemento forme apenas um conjugado e, portanto,
uma força resultante nula.
Agora, considere o segmento na parte superior do
elemento que foi secionado em y ' em relação ao eixo
neutro (Figura 7.4b ). Esse segmento tem largura t na
seção, e cada um dos lados da seção transversal tem
área A'. Como a diferença entre os momentos resultantes
em cada lado do elemento é dM, podemos ver
na Figura 7.4d que !,F" = O não será satisfeita a menos
que uma tensão de cisalhamento longitudinal aja sobre
a face inferior do segmento. Na análise que faremos a
seguir, consideraremos que essa tensão de cisalhamento
seja constante em toda a largura t da face inferior.
Ela age na área t dx. Aplicando a equação do equilíbrio
da força horizontal e usando a fórmula da flexão
(Equação 6.13), temos
2-Fx = O;
r cr ' dA' - r crdA' - r(tdx) = O
lA' }A'
( d ) L? dA' = r(t dx) (7.1)
Resolvendo para r, obtemos
r= 1 ( dM ) { y dA'
It dx }A'
Essa equação pode ser simplificada observando-se
que V = dM/dx (Equação 6.2). Além disso, a integral
representa o momento de primeira ordem da área A'
em torno do eixo neutro que representaremos pelo
símbolo Q. Visto que a localização do centroide da
área A' é determinada por y' = JA' y dA' IA', também
podemos escrever