Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

250 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
por consequência, o eixo neutro não passará pelo centroide
da seção transversal. Para determinar a localização do eixo
neutro, d, exige-se que a distribuição de tensão produza uma
força resultante nula na seção transversal. Considerando que
d :::; 120 mm, temos
250 MPa (0,015 m)(d) - 250 MPa (0,015 m)(0,120 m-d)
- 250 MPa (0,015 m)(0,100 m) = O
d = 0,110 m < 0,120 m OK
Usando esse resultado, as forças que agem em cada segmento
são
T = 250 MN/m2 (0,015 m)(0,110 m) = 412,5 kN
C1 = 250 MN/m2 (0,015 m)(0,010 m) = 37,5 kN
C2 = 250 MN/m2 (0,015 m)(0,100 m) = 375 kN
Por consequência, o momento plástico resultante em torno
do eixo neutro é
M = 412 5 kN (0 '110 m) 3 5 kN
(0•01 m)
p ,
2
+ 375 kN ( 0,01 m +
+ 7' 2
O,O m)
produzido por essa distribuição de tensão pode ser calcu] 1
d · d " l d bl d
etermman o-se o vo ume" os ocos e tensão. Para ist
ac 0
subdividiremos essa distribuição em dois blocos triangul ) :
res e um bloco retangular na região de tração e também .
região de compressão (Figura 6.58d). Visto que a viga t;1
2 cm de largura, as resultantes e suas localizações são de te._ 1
minadas da seguinte maneira:
1
T1 = C1 = 2 (12 mm)(280 N/mm2)(20 mm) = 33.600 N
= 33,6kN
y1 = 0,3 cm + (1,2 cm) = 1,10 cm = 11,0 mm
3
T2 = C2 = (12 mm)(1.050 N/mm 2)(20 mm) = 25.200 N
= 252 kN
y 2 = 0,3 cm + .!_ (1,2 cm) = 0,90 cm = 9 mm
2
T 3 = C 3 = .!.(3 mm)(1.050 N/mm2)(20 mm) = 31.500 N .
2
= 31,5 kN
2 y 3 = 3 (0,3 cm) = 0,2 cm = 2 mm
MP = 29,4kN· m
Resposta
O momento produzido por essa distribuição de tensão normal
em torno do eixo neutro é, portanto,
M = 2[33,6 kN (110 mm) + 252 kN (9 mm) + 31,5 kN (2 mm)l
= 5.401,2 kN ·mm= 5,40 kN · m Resposta
A viga na Figura 6.58a é feita de uma liga de titânio
cujo diagrama tensão-deformação pode ser aproximado,
em parte, por duas retas. Se o comportamento do material
for o mesmo sob tração e sob compressão, determine o momento
fietor que pode ser aplicado à viga e que fará com
que o material, nas partes superior e inferior da viga, seja
submetido a uma deformação de 0,050 mm/mm.
SOLUÇÃO I
Examinando o diagrama tensão-deformação, podemos dizer
que o material exibe comportamento "elástico-plástico com
encruamento". Visto que a seção transversal é simétrica e
os diagramas u-E de tração e compressão são iguais, o eixo
neutro deve passar pelo centroide da seção transversal. A
distribuição de deformação, que é sempre linear, é mostrada
na Figura 6.58b. Em particular, o ponto onde ocorre a deformação
elástica máxima (0,010 mm/mm) foi determinado
por cálculo proporcional, tal que 0,05/1,5 cm = 0,010/y ou
y = 0,3 cm = 3 mm.
A distribuição de tensão normal correspondente que age
na seção transversal é mostrada na Figura 6.58c. O momento
SOLUÇÃO 11
Em vez de usar essa técnica parcialmente gráfica, também
é possível calcular o momento analiticamente. Para tanto,
precisamos expressar a distribuição de tensão na Figura
6.58c em função da posição y ao longo da viga. Observe que
u = f(E) foi dada na Figura 6.58a. Além disso, pela Figura
6.58b, a deformação normal pode ser determinada em função
da posição y por cálculo proporcional de triângulos; isto é,
0,05
1,5
E = --y
O :s; y :s; 1,5 cm = 15 mm
Substituindo esse resultado nas funções u-E mostradas na
Figura 6.58a, obtemos
u = 350y O :::; y :::; 0,3 cm = 3 mm (I)
u = 23,33y + 980
3 cm :::; y :::; 1,5 cm = 15 mm
Pela Figura 6.58e, o momento provocado por (J' qw:
age na tira de área dA = 2 dy é
dM = y(u dA) = yu(2 dy)
(Z)