Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

FLEXÃO 233
Forma Área
jdA
r
I
I
b b 'z
(ln ) -b
- (rz - rl)
2
'Tf' C 2
7rab
(rz - rl)
A
r
z'Tr (r-)
27rb ( )
-a- r- r2-a2
Para relacionar a distribuição de tensão com o momento
fletor resultante, exige-se que o momento interno
resultante seja igual ao momento da distribuição de
tensão calculado em torno do eixo neutro. Pela Figura
6.44a, a tensão u que age sobre um elemento de área
dA localizado a uma distância y do eixo neutro cria
uma força dF = u dA no elemento e um momento em
torno do eixo neutro dM = y(u dA). Esse momento é
positivo, visto que, pela regra da mão direita, ele está
direcionado na mesma direção de M. Para a seção
transversal inteira, exige-se M = f yu dA.
Uma vez que y = R - r, e u é definida pela Equação
6.22, temos
M = 1 (R - r)Ek( R ; r ) dA
Expandindo essa expressão, e entendendo que Ek
e R são constantes, obtemos
A primeira integral é equivalente a A/R como determinado
pela Equação 6.23, e a segunda integral é
simplesmente a área de seção transversal A. Percebendo
que a localização do centroide da seção transversal
é determinada por r = J r dA/A, a terceira integral
pode ser substituída por r A. Assim, podemos escrever
M= EkA(r - R)
Resolvendo para Ek na Equação 6.22, substituindo
na equação acima e resolvendo para u, temos
Nessa expressão,
M(R - r)
(]" = ----,----
Ar(r - R)
(6.24)
u = tensão normal no elemento
M = momento interno, determinado pelo método
das seções e equações de equilíbrio e calculado
em torno do eixo neutro para a seção
transversal. Esse momento é positivo se tender
a aumentar o raio de curvatura do elemento,
isto é, se tender a recuperar a forma
reta do elemento
A = área da seção transversal do elemento
R = distância medida do centro de curvatura até o
eixo neutro, determinada pela Equação 6.23
r = distância medida do centro de curvatura até o
centroide da área da seção transversal
r = distância medida do centro de curvatura até o
ponto onde a tensão u deve ser determinada
Pela Figura 6.44a, y = R-r ou r = R-y. Além disso,
a distância constante e normalmente muito pequena é
e = r-R. Quando esses resultados são substituídos na
Equação 6.24, podemos escrever também
My
(]" = ----,-----,-
Ae(R - y ) (6.25)
Essas duas últimas equações representam duas formas
da chamada fórmula da viga curva, que, como a
fórmula da flexão, pode ser usada para determinar a
distribuição de tensão normal em elementos curvos.
Essa distribuição de tensão, como dissemos antes, é hiperbólica;
um exemplo é mostrado nas Figuras 6.44c e
6.44d. Visto que a tensão age na direção da circunferência
da viga, às vezes ela é denominada tensão circunferencial.
Todavia, devemos perceber que, devido à
curvatura da viga, a tensão circunferencial criará uma
componente correspondente de tensão radial, assim
denominada porque essa componente age na direção
radial. Para mostrar como ela é desenvolvida, considere
o diagrama de corpo livre mostrado na Figura 6.44e,
que é um segmento da parte superior do elemento
diferencial na Figura 6.44b. Aqui, a tensão radial u , é
necessária, visto que ela cria a força dF , exigida para
equilibrar as componentes das forças circunferenciais
dF que agem ao longo da reta O' B.
Às vezes, as tensões radiais no interior de elementos
curvos podem tornar-se significativas, especialmente se
o elemento for construído com chapas finas e tiver, por
exemplo, a forma de uma seção em I. Nesse caso, a ten-