Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

FLEXÃO 231
*6.8 Vigas curvas
A fórmula da flexão aplica-se a um elemento prismático
reta, já que demonstramos que, para um elemento
reto a deformação normal varia linearmente
em relação ao eixo neutro. Entretanto, se o elemento
for curvo, essa premissa torna-se inexata e, portanto,
temos de desenvolver outra equação que descreva a
distribuição de tensão. Nesta seção, consideraremos a
análise de uma viga curva, isto é, um elemento que tem
um eixo curvo e está sujeito a flexão. Como exemplos
típicos, citamos ganchos e elos de corrente. Em todos
os casos, os elementos não são delgados; mais exatamente,
têm uma curva acentuada, e as dimensões de
suas seções transversais são grandes, em comparação
com o raio de curvatura.
A análise a ser considerada supõe que a área da
seção transversal é constante e tem um eixo de simetria
perpendicular à direção do momento aplicado
M (Figura 6.44a). Além disso, o material é homogéneo
e isotrópico e comporta-se de maneira linear
elástica quando a carga é aplicada. Como no caso de
urna viga reta, também admitiremos que as seções
transversais do elemento permanecem planas após a
aplicação do momento. Além do mais, qualquer distorção
da seção transversal dentro de seu próprio
plano será desprezada.
Para realizar a análise, três raios, que se estendem
do centro de curvatura O' do elemento, são identificados
na Figura 6.44a. São os seguintes: r, que indica
a localização conhecida do centroide para a área da
seção transversal; R, que indica a localização ainda
não especificada do eixo neutro, e r, que indica a localização
de um ponto arbitrário ou elemento de área
dA na seção transversal. Observe que o eixo neutro
se encontra no interior da seção transversal, visto que
o momento M cria compressão nas fibras superiores
da viga e tração nas fibras inferiores, e, por definição,
o eixo neutro é uma reta onde a tração e a deformação
são nulos.
Se isolarmos um segmento diferencial da viga (Figura
6.44b ), a tensão tende a deformar o material de
tal modo que cada seção transversal sofrerá uma rotação
de um ângulo [5()/2. A deformação normal E na tira
de material localizada em r agora será determinada.
Essa tira tem comprimento original r d() (Figura 6.44b ).
Contudo, devido às rotações M/2, a mudança total no
comprimento da tira é oe(R - r). Por consequência,
E=
8e(R - r)
r de
Definindo k = o()/ de, que é constante para qualquer
elemento particular, temos
(R -r)
E= k -- r
-
Diferentemente do caso das vigas retas, podemos
ver, aqui, que a deformação normal é uma função nãolinear
de r; na verdade, ela varia de maneira hiperbólica.
Isso ocorre ainda que a seção transversal da viga
permaneça plana após a deformação. Visto que o momento
provoca comportamento elástico no material, a
lei de Hooke se aplica e, portanto, a tensão em função
da posição é
(R -r)
cr = Ek - r
- (6.22)
Essa variação também é hiperbólica e, uma vez que
agora já foi definida, podemos determinar a localização
do eixo neutro e relacionar a distribuição de tensão
ao momento interno resultante M.
Para obter a localização R do eixo neutro, exigese
que a força interna resultante provocada pela distribuição
de tensão que age na seção transversal seja
nula; isto é,
1 crdA = O
1 Ek( R
; r) dA = O
Visto que Ek e R são constantes, temos
R { dA - { dA = O
}A r }A
Resolvendo para R, obtemos
A
R=
{ dA
}A r
(6.23)
Nessa expressão,
R = localização do eixo neutro, determinada em relação
ao centro de curvatura O' do elemento
A = área da seção transversal do elemento
r = posição arbitrária do elemento de área dA na
seção transversal, determinada em relação ao
centro de curvatura O' do elemento
A integral na Equação 6.23 pode ser calculada para
várias geometrias de seção transversal. A Tabela 6.2
apresenta os resultados para algumas seções transversais
comuns.