Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)
208 RESISTNCIA DOS MATERIAISA viga mostrada na Figura 6.29a tem área de seção transversalem forma de um canal (Figura 6.29b ). Determine atensão de flexão máxima que ocorre na viga na seção a-a.SOLUÇÃOMomento interno. Aqui, as reações no apoio da viga nãoprecisam ser determinadas. Em vez disso, pelo método dasseções, podemos usar o segmento à esquerda da seção a-a(Figura 6.29c). Em particular, observe que força axial internaresultante N passa pelo centroide da seção transversal.Entenda, também, que o momento interno resultante deve sercalculado em torno do eixo neutro da viga na seção a-a.Para determinar a localização do eixo neutro, a área da seçãotransversal é subdividida em três partes compostas, comomostra a Figura 6.29b. Visto que o eixo neutro passa pelo centroide,então, pela Equação A.2 do Apêndice A, temos- 2: - y Ay = 2:A=2[0,100 m](0,200 m)(0,015 m) + [0,010 m](0,02 m)(0,250 m)2(0,200 m)(0,015 m) + 0,020 m(0,250 m)= 0,05909 m = 59,09 mmEssa dimensão é mostrada na Figura 6.29c.Aplicando a equação do equilíbrio de momento em tornodo eixo neutro, temosL+MNA =O; 2,4 kN(2 m) + 1,0 kN(0,05909 m) - M =OM = 4,859 kN · mPropriedade da seção.O momento de inércia em tornodo eixo neutro é determinado pelo teorema dos eixos paralelosaplicado a cada uma das três partes compostas da área daseção transversal. Trabalhando em metros, temosI= [ _!_ (0,250m)(0,020 m)3 +12+ ( 0,250 m) ( 0,020 m) ( 0,05909 m - 0,010 m?]+ 2[ 1 (0,015 m)(0,200 m)3 ++ (0,015 m)(0,200 m)(0,100 m - 0,05909 m?]= 42,26(10-6) m4Tensão de flexão máxima. A tensão de flexão máximaocorre nos pontos mais afastados do eixo neutro, ou seja, naparte inferior da viga, c= 0,200 m-0,05909 m = 0,1409 m.Assim,Me 4,859 kN · m(0,1409 m)u max ,. = - = = 16 2 MPaI42,26(10-6) m4 'RespostaMostre que a tensão de flexão no topo da viga é u = 6,79 MPa.'OBSERVAÇÃO: A força normal N = 1 kN e a força de cisalhamentoV = 2,4 kN também contribuirão com uma tensãoadicional na seção transversal. A superposição de todos essesefeitos será discutida mais adiante, em outro capítulo.2.4 kN(b)O elemento com seção transversal retangular (Figura6.30a) foi projetado para resistir a um momento de 40 N · m.Para aumentar sua resistência e rigidez, foi proposta a adiçãode duas pequenas nervuras em sua parte inferior (Figura6.30b). Determine a tensão normal máxima no elementopara ambos os casos.SOLUÇÃOSem nervuras.O eixo neutro está claramente no centroda seção transversal (Figura 6.30a),portanto,y =c= 15 mm= 0,015 m. Assim,---2m ----(c)Figura 6.29Logo, a tensão normal máxima é= Me ( 40 Nfim áx · m)(0,015 m)J = 40,135(10- 6 ) m= 4,44 MPaResposta
FLEXÃO 209Portanto, a tensão normal máxima ém x I 0,1642(10-6) m4Me 40 N · m(0,01908 m)a á = - = = 4 65 MPa R, esposta(a)OBSERVAÇÃO: Esse resultado surpreendente indica que oacréscimo de nervuras à seção transversal aumentará a tensãonormal em vez de diminuí-la; por essa razão, elas devemser omitidas.30(b)Figura 6.30Com nervuras. Pela Figura 6.30b, segmentando a área noretângulo grande principal e nos dois retângulos (nervuras)na parte inferior, a localização de y do centroide e do eixoneutro é determinada da seguinte maneira:2:-A - yy = 2:A[0,015 m](0,030 m)(0,060 m) + 2[0,0325 m](0,005 m)(0,010 m)(0,03 m)(0,060 m) + 2(0,005 m)(0,010m)= 0,01592 mEsse valor não representa c. O valor de c éc = 0,035 m - 0,01592 m = 0,01908 mPelo teorema dos eixos paralelos, o momento de inérciaem torno do eixo neutro é6.43. Um elemento com as dimensões mostradas na figuradeverá ser usado para resistir a um momento fletor internoM = 2 kN · m. Determine a tensão máxima no elemento se omomento for aplicado (a) em torno do eixo z e (b) em tornodo eixo y. Trace um rascunho da distribuição de tensão paracada caso.XzProblema 6.43*6,44. A haste de aço com diâmetro de 20 mm está sujeitaa um momento interno M = 300 N · m. Determine a tensãocriada nos pontos A e B. Além disso, trace um rascunho deuma vista tridimensional da distribuição de tensão que agena seção transversal.I= u 2(0,060 m)(0,030 m)3 ++ (0,060 m)(0,030 m)(0,01592 m -0,015 m)2]+ 2[ 112(0,010 m)(0,005 m)3 ++ (0,010 m) (0,005 m)(0,0325 m - 0,01592 m)2 J10mmProblema 6.44M= 300 N·m6.45. A viga está sujeita a um momento M. Determine aporcentagem desse momento à qual resistem as tensões queagem nas pranchas superior e inferior A e B da viga.
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208 RESISTNCIA DOS MATERIAIS
A viga mostrada na Figura 6.29a tem área de seção transversal
em forma de um canal (Figura 6.29b ). Determine a
tensão de flexão máxima que ocorre na viga na seção a-a.
SOLUÇÃO
Momento interno. Aqui, as reações no apoio da viga não
precisam ser determinadas. Em vez disso, pelo método das
seções, podemos usar o segmento à esquerda da seção a-a
(Figura 6.29c). Em particular, observe que força axial interna
resultante N passa pelo centroide da seção transversal.
Entenda, também, que o momento interno resultante deve ser
calculado em torno do eixo neutro da viga na seção a-a.
Para determinar a localização do eixo neutro, a área da seção
transversal é subdividida em três partes compostas, como
mostra a Figura 6.29b. Visto que o eixo neutro passa pelo centroide,
então, pela Equação A.2 do Apêndice A, temos
- 2: - y A
y = 2:A
=
2[0,100 m](0,200 m)(0,015 m) + [0,010 m](0,02 m)(0,250 m)
2(0,200 m)(0,015 m) + 0,020 m(0,250 m)
= 0,05909 m = 59,09 mm
Essa dimensão é mostrada na Figura 6.29c.
Aplicando a equação do equilíbrio de momento em torno
do eixo neutro, temos
L+MNA =O; 2,4 kN(2 m) + 1,0 kN(0,05909 m) - M =O
M = 4,859 kN · m
Propriedade da seção.
O momento de inércia em torno
do eixo neutro é determinado pelo teorema dos eixos paralelos
aplicado a cada uma das três partes compostas da área da
seção transversal. Trabalhando em metros, temos
I= [ _!_ (0,250m)(0,020 m)3 +
12
+ ( 0,250 m) ( 0,020 m) ( 0,05909 m - 0,010 m?]
+ 2[ 1 (0,015 m)(0,200 m)3 +
+ (0,015 m)(0,200 m)(0,100 m - 0,05909 m?]
= 42,26(10-6) m4
Tensão de flexão máxima. A tensão de flexão máxima
ocorre nos pontos mais afastados do eixo neutro, ou seja, na
parte inferior da viga, c= 0,200 m-0,05909 m = 0,1409 m.
Assim,
Me 4,859 kN · m(0,1409 m)
u max ,. = - = = 16 2 MPa
I
42,26(10-6) m4 '
Resposta
Mostre que a tensão de flexão no topo da viga é u = 6,79 MPa.
'
OBSERVAÇÃO: A força normal N = 1 kN e a força de cisalhamento
V = 2,4 kN também contribuirão com uma tensão
adicional na seção transversal. A superposição de todos esses
efeitos será discutida mais adiante, em outro capítulo.
2.4 kN
(b)
O elemento com seção transversal retangular (Figura
6.30a) foi projetado para resistir a um momento de 40 N · m.
Para aumentar sua resistência e rigidez, foi proposta a adição
de duas pequenas nervuras em sua parte inferior (Figura
6.30b). Determine a tensão normal máxima no elemento
para ambos os casos.
SOLUÇÃO
Sem nervuras.
O eixo neutro está claramente no centro
da seção transversal (Figura 6.30a),portanto,y =c= 15 mm
= 0,015 m. Assim,
---2m ----
(c)
Figura 6.29
Logo, a tensão normal máxima é
= Me ( 40 N
fim áx · m)(0,015 m)
J = 4
0,135(10- 6 ) m
= 4,44 MPa
Resposta