Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

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206 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Tensão normal
• Especifique a distância y, medida perpendicularmente ao eixo neutro, até o ponto onde a tensão normal deve ser determinada.
Então, aplique a equação cr = -My!I. Porém, se quiser calcular a tensão de flexão máxima, use cr máx = Me/I.
Ao substituir os dados, não se esqueça de verificar se as unidades de medida são consistentes.
• A tensão age em uma direção tal que a força que ela cria no ponto contribui para o momento em torno do eixo
neutro que está na mesma direção do momento interno M (Figura 6.26c ) . Desse modo, podemos representar a distribuição
de tensão que age sobre toda a seção transversal ou isolar um elemento de volume do material e usá-lo para
fazer uma representação gráfica da tensão normal que age no ponto.
"" -
"'
""
qeu .n
" "' - a ""'
A viga tem seção transversal retangular e está sujeita à
distribuição de tensão mostrada na Figura 6.27 a. Determine o
momento interno M na seção provocado pela distribuição de
tensão (a) pela fórmula da flexão e (b) pela determinação da
resultante da distribuição de tensão pelos princípios básicos.
SOLUÇÃO
Parte (a). A fórmula da flexão é CT máx = Me/I. Pela Figura
6.27a, c = 60 mm e cr máx = 20 MPa. O eixo neutro é definido
como a reta NA, porque a tensão é nula ao longo dessa reta.
Visto que a seção transversal tem forma retangular, o momento
de inércia para a área em torno de NA é determinado pela
fórmula para um retângulo dada no final deste livro; isto é,
Portanto,
M = 288(104) N · mm-= 2,88 kN · m
M(60 mm)
864(104) mm4
Resposta
Parte (b). Em primeiro lugar, mostraremos que a forçaresultante
da distribuição de tensão é nula. Como mostrado na
Figura 6.27b, a tensão que age sobre um elemento arbitrário
dA = (60 mm) dy, localizada à distância y do eixo neutro, é
cr = (-=L )c2o N/mm 2 )
60 mm
A força criada por essa tensão é dF = crdA e, portanto, para
a seção transversal inteira,
FR = J cr dA = J +6 0 mm
[( -=L )(20 N/mm 2 )] (60 mm) dy
A -60 mm 60 mm
1 +6 0 mm
=(-10 N/mm 2 )/
-60 mm
=O
O momento resultante da distribuição de tensão em torno
do eixo neutro (eixo z) deve ser igual a M. Visto que o valor
do momento de dF em torno desse eixo é dM = y dF, e dM é
sempre positivo (Figura 6.27b ), então, para a área inteira,
M = J y dF = J +6 0 mm y[(- y -)(20 N/mm 2 )] (60 mm) dy
A -60 mm 60 mm
= [e 3
° Njmm 2 )l][=
= 288(104) N · mm = 2,88 kN · m Resposta
Esse resultado também pode ser determinado sem a necessidade
da integração. A força resultante para cada uma
das duas distribuições de tensão triangulares na Figura 6.27c
é graficamente equivalente ao volume contido no interior de
cada distribuição de tensão. Assim, cada volume é
1
F = -(60 mm)(20 N/mm 2 )(60 mm) = 36(103) N = 36 kN
2
Essas forças, que formam um conjugado, agem na mesma
direção das tensões no interior de cada distribuição (Figura
6.27c). Além do mais, agem passando pelo centroide de
!
'(
20 MPa
N
,
\
A
20 MPa
Figura 6.27
(c)