Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)
2'll' rrl dplo ) clo PePe1 cPe'!!_Te r p 3 dp + 21TTe p2 dplo 1T 4 21T-TePe + 3Te ( 3 3 C Pe )-Em outras palavras, o torque plástico é 33% maiorque o torque elástico máximo.O ângulo de torção p para a distribuição da tensão(5.26) de cisalhamento na Figura 5.40c não pode ser definidoexclusivamente. Isso porque r = r e não corresponde anenhum valor único de deformação por cisalhamentor r e· O resultado é que, uma vez aplicado T , o eixocontinuará a deformar-se ou torcer-se sem nenhum aumentocorrespondente na tensão de cisalhamento.2'll' r•(Te }!_ p2 dp + 2rr 1 TeP 2 dp TORÇÃO 169fo rque plástic . Au entos a?ic . ionais em T ten,a reduzir o raw do nucleo elast1co ate provocaresc:ommenw de todo o material, isto é, Pe O (Figu-5.40c). Então, o material do eixo é submetido a um;omportamento perfeitamen:e plástico, e a .distribuiçãoda tensão de cisalhamento e constante (Figura 5.40c).r = re, podemos aplicar a Equação 5.23 paradeterminar o torque plástico que representa o maiorpossível que o eixo suportará.(5.27)Comparando com o torque elástico máximo T_,t:Olmcato 5.24, podemos ver queTTo rque máximo. Em geral, a maioria dos materiaisde engenharia terá um diagrama da tensão dedeformação por cisalhamento como mostra a Figura5.41a. Por consequência, se Taumentar de modo que adeformação por cisalhamento máxima no eixo se torner= r, (Figura 5.41b), então, por cálculo proporcional,-v' e ocorre em p e = (r e Ir )c. Da mesma maneira, as deuformações por cisalhamento em p = p1 e p = p2, podemser determinadas por cálculo proporcional, isto é, r1 =(p/c)'Y" e r2 = (p/c)r,. Se os valores correspondentesde r i ' r e, r2 e r, forem lidos no diagrama r-r e, então,representados em gráfico, obtemos a distribuiçãoda tensão de cisalhamento que age na linha radial naseção transversal (Figura 5.41c). O torque produzidopor essa distribuição de tensão é denominado Iorquemáximo, T máx 'Tllj-----c(a)Distribuição da deformação porcisalhamento máxima(b)Distribuição da tensão decisalhamento máxima(c)Figura 5.41(d)
170 RESISTNCIA DOS MATERIAISO valor de Tmáx pode ser determinado por integração"gráfica" da Equação 5.23. Para tanto, a área da seçãotransversal do eixo é subdividida em um número finito deanéis, como o que aparece sombreado na Figura 5.41d.Aárea desse anel, yA = 2np !:::..p, é multiplicada pela tensãode cisalhamento T que age sobre ele, de modo que a força!:::..F = T !:::.A pode ser determinada. Então, o torque criadopor essa força é !:::..T = p !:::..F = p(T !:::.A). A soma de to.dos os torques na seção transversal inteira, determinadosdesse modo, dá o torque máximo, T máx; isto é, a Equação5.23 torna-se Tmáx = 2'11'2,Tp2!:::.ṗ. Por outro lado, se a distribuiçãode tensão puder ser expressa como uma funçãoanalítica, T = f(p ), como nos casos do torque elástico edo torque plástico, então a integração da Equação 5.23poderá ser executada diretamente.SOLLTorqLlharnt;lo, lt" A distribuição da deformação por cisalhamento em uma linha radial de um eixo é baseada em considerações geométricase constatou-se que ela permanece sempre linear. A distribuição da tensão de· cisalhamento, todavia, dependedo torque aplicado e,portanto, deve ser determinada pelo cpmportamento do material ou pelo diagrama da tensãode deformação por cisalhamento." Uma vez determinada a distribuição da tensão de cisalhamento para o elxo, ela produz um torque em torno da linhacentral do eixo que é equivalente aotorque resultante que age na seção transversal." Comportamento perfeitamente plástico considera que a distribuição da tensão de cisalhamento seja constqnte e que oeixo continuará a torcer sem nenhum aumento no valor do torque. Esse torque é denominado torque plástico.O eixo tubular na Figura 5 .42a é feito de uma liga dealumínio que se supõe tenha um diagrama elástico-plásticor-y, como mostra a figura. Determine (a) o torque máximoque pode ser aplicado ao eixo sem provocar o escoamentodo material e ( b) o torque máximo ou torque plástico quepode ser aplicado ao eixo. Qual deve ser a deformação porcisalhamento mínima no raio externo para desenvolver umtorque totalmente plástico?i\ 'de deid;\S fl(l,ao ohTorquto par;l'q ua·I.Pnrtl l'dadt· d30 mm20 MPaOeforr!OI IIH 'Jliiiii iCIlllm.lr;lllt'IIIOpi;Í'i[ÍC;IIIÍ11ad;r (MPa)Distribuição de tensão dedeformação por cisalhamento elástica0,172 (10-3) rad0,286 (10-3)(a)y (rad)Distribuição da deformaçãopor cisalhamento elástica(b)lln1llH'IJ I ()ícoJlil li20 MPa0,477 (10-3) rad0,286 (10-3) radDistribuição da tensãode cisalhamento plásticaDistribuição da tensão de deformação(c) por cisalhamento plástica inicialFigura 5.421\ 1r
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O valor de Tmáx pode ser determinado por integração
"gráfica" da Equação 5.23. Para tanto, a área da seção
transversal do eixo é subdividida em um número finito de
anéis, como o que aparece sombreado na Figura 5.41d.A
área desse anel, yA = 2np !:::..p, é multiplicada pela tensão
de cisalhamento T que age sobre ele, de modo que a força
!:::..F = T !:::.A pode ser determinada. Então, o torque criado
por essa força é !:::..T = p !:::..F = p(T !:::.A). A soma de to.
dos os torques na seção transversal inteira, determinados
desse modo, dá o torque máximo, T máx; isto é, a Equação
5.23 torna-se Tmáx = 2'11'2,Tp2!:::.ṗ. Por outro lado, se a distribuição
de tensão puder ser expressa como uma função
analítica, T = f(p ), como nos casos do torque elástico e
do torque plástico, então a integração da Equação 5.23
poderá ser executada diretamente.
SOLL
TorqL
lharnt
;lo, lt
" A distribuição da deformação por cisalhamento em uma linha radial de um eixo é baseada em considerações geométricas
e constatou-se que ela permanece sempre linear. A distribuição da tensão de· cisalhamento, todavia, depende
do torque aplicado e,portanto, deve ser determinada pelo cpmportamento do material ou pelo diagrama da tensão
de deformação por cisalhamento.
" Uma vez determinada a distribuição da tensão de cisalhamento para o elxo, ela produz um torque em torno da linha
central do eixo que é equivalente aotorque resultante que age na seção transversal.
" Comportamento perfeitamente plástico considera que a distribuição da tensão de cisalhamento seja constqnte e que o
eixo continuará a torcer sem nenhum aumento no valor do torque. Esse torque é denominado torque plástico.
O eixo tubular na Figura 5 .42a é feito de uma liga de
alumínio que se supõe tenha um diagrama elástico-plástico
r-y, como mostra a figura. Determine (a) o torque máximo
que pode ser aplicado ao eixo sem provocar o escoamento
do material e ( b) o torque máximo ou torque plástico que
pode ser aplicado ao eixo. Qual deve ser a deformação por
cisalhamento mínima no raio externo para desenvolver um
torque totalmente plástico?
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0,172 (10-3) rad
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(a)
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Distribuição da deformação
por cisalhamento elástica
(b)
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20 MPa
0,477 (10-3) rad
0,286 (10-3) rad
Distribuição da tensão
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Distribuição da tensão de deformação
(c) por cisalhamento plástica inicial
Figura 5.42
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