Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)
CARGA AXIAL 97qne l:iajàuma relaçã5 linarntr o s:arregame:çtto aprovoque mudanças signifieti.vs·na g(;l.ll).l!'i . priginal do elemento.é estaticmnente indeterminado e as eqJúl,ÇÕ es cJe equilíbrio nãoEm problemas estaticamente indeterminados, as forças desconhecidas são determinadas satisfazendo os requisitosde equilíbrio, compatibilidade e força-deslocamento para o elemento.Eq uilíbrio• Desenhe um diagrama de corpo livre do elemento para identificar todas as forças que agem sobre ele ... O problema pode ser classificado como estaticamente indeterminado se o número de reações desconhecidas nodiagrama de corpo livre for maior do que o número de equações de equilíbrio disponíveis,• Escreva a equações de equilíbrio para o elemento.Compatibilidade• Para escrever as equações de compatibilidade, considere desenhar um diagrama de deslocamento para investigaro modo como o elemento se alongará ou contrairá quando submetido a cargas externas.• Expresse as condições de compatibilidade em termos dos deslocamentos causados pelas forças.• Use uma relação carga-deslocamento tal como 8 = PL!AE para relacionar os deslocamentos desconhecidoscom as reações desconhecidas.• Resolva as equações de equilíbrio e compatibilidade para as forças reativas desconhecidas. Se qualquer dessas forçastiver um valor numérico negativo, isso indica que ela age no sentido oposto ao indicado no diagrama de cmpo livre.e*el'!llemm .5 ," "' "' "' ="'JPA haste de aço mostrada na Figura 4.12a tem diâmetrode 5 mm e está presa à parede fixa em A. Antes de ser carregada,há uma folga de 1 mm entre a parede em B' e a haste.Determine as reações em A e B' se a haste for submetida aurna força axial P = 20 kN como mostra a figura. Desprezeo tamanho do colar em C. Considere E = 200 GPa.SOLUÇÃOEquilíbrio. Como mostrado no diagrama de corpo livre(Figura 4.12b ), consideraremos que a força Pé grande o suficientepara fazer com que a extremidade B da haste entre emontato com a parede em B'. O problema é estaticamentemdcterminado visto que há duas incógnitas e apenas umaequação de equilíbrio.O equilíbrio da haste exige:±;'ZF. X =O·' (1)Compatibilidade. A carga faz com que o ponto B moviente-se até o ponto B' sem mais nenhum deslocamento adiCional. Portanto, a condição de compatibilidade para a haste é881A = 0,001 maçoEsse deslocamento pode ser expresso em termos das reaçõesdesconhecidas pela relação carga-deslocamento, Equação4.2, aplicada aos segmentos AC e CE (Figura 4.12c ). Trabalhandocom as unidades newtons e metros, temosFA(0,4 m)1r(0,0025 m)2[200(109) Njm2]Fs(0,8m)O 001 m = ------=-=::-----'----;:-----;;-'ouFA(0,4 m) - F8(0,8 m) = 3927,0 N · m(2)A resolução das equações 1 e 2 nos dáFA = 16,6kN FB = 3,39kNRespostaVisto que a resposta para F8 é positiva, a extremidade Brealmente entrará em conta to com a parede, como consideramosdesde o início.OBSERVAÇÃO: Se F8 fosse uma quantidade negativa, oproblema seria estaticamente determinado, de modo queF8 = OeFA = 20 kN.
lO 1111198 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS(a) (b) (c)Figura 4.12O poste de alumínio mostrado na Figura 4.13a é reforçadocom um núcleo de latão. Se esse conjunto suportar umacarga de compressão axial resultante P = 45 kN, aplicada natampa rígida, determine a tensão normal média no alumínio eno latão. Considere Ea1 = 70(103) MPa e E1a t= 105(103) MPa.SOLUÇÃOEquilíbrio. O diagrama de corpo livre do poste é mostradona Figura 4.13b. Aqui, a força axial resultante na base érepresentada pelas componentes desconhecidas suportadaspelo alumínio, Fal ' e pelo latão, F1•1• O problema é estaticamenteindeterminado. Por quê?O equilíbrio da força vertical exige(1)Compatibilidade. A tampa rígida na parte superior doposte obriga que o deslocamento de ambos, alumínio e latão,seja o mesmo. Portanto,8 al = 8 lalPelas relações carga-deslocamento,FatL = FtatLAalEal AlatElatFat =Flat (Aal)(Eal)A lat E latF = F[1T[(0,05 m)2 - (0,025 m)2]][ 70(1W MPaal lat l7T(0,025 m)2105(10)3 MPa(2)Resolvendo as equações 1 e 2 simultaneamente, temosF"1 = 30kN F;at = 15 kNVisto que os resultados são positivos, a tensão será,realmente, de compressão.Portanto, a tensão normal média no alumínio e no latão élat30 kN = 5,09 MPa1T[(0,05 m)2 - (0,025 m)2]15 kN = 7,64 MPaRespostaa: =1r[ (0,025 m)2]RespostaAs distribuições de tensão são mostradas na Figura 4.13c.As três barras de aço A-36 mostradas na Figura 4.14aestão conectadas por pinos a um elemento rígido. Se a cargaaplicada ao elemento for 15 kN, determine a força desenvolvidaem cada barra. Cada uma das barras AB e EFtem área de seção transversal de 25 mm2, e a barra CD temárea de seção transversal de 15 mm2•SOLUÇÃOEquilíbrio. O diagrama de corpo livre do elemento rígidoé mostrado na Figura 4.14b. Esse problema é estaticamenteindeterminado visto que há três incógnitas e somente duasequações de equilíbrio disponíveis. Essas equações são+t2:Fy=o· ' (1)1+ 2:Mc =O; -JS1(0,4 m) + 15 kN(0,2 m) + Fe(0,4 m) =O (2)Corh mirelapoda eql'<'la( I :i50 mmt:Tiat= 7,64 MPaO" a! = 5,09 MPa(a)- -t ,.FlatlFal(b)Figura 4.13(c)
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98 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
(a) (b) (c)
Figura 4.12
O poste de alumínio mostrado na Figura 4.13a é reforçado
com um núcleo de latão. Se esse conjunto suportar uma
carga de compressão axial resultante P = 45 kN, aplicada na
tampa rígida, determine a tensão normal média no alumínio e
no latão. Considere Ea1 = 70(103) MPa e E1a t
= 105(103) MPa.
SOLUÇÃO
Equilíbrio. O diagrama de corpo livre do poste é mostrado
na Figura 4.13b. Aqui, a força axial resultante na base é
representada pelas componentes desconhecidas suportadas
pelo alumínio, Fal ' e pelo latão, F1•1• O problema é estaticamente
indeterminado. Por quê?
O equilíbrio da força vertical exige
(1)
Compatibilidade. A tampa rígida na parte superior do
poste obriga que o deslocamento de ambos, alumínio e latão,
seja o mesmo. Portanto,
8 al = 8 lal
Pelas relações carga-deslocamento,
FatL = FtatL
AalEal AlatElat
Fat =Flat (Aal)(Eal)
A lat E lat
F = F
[1T[(0,05 m)2 - (0,025 m)2]][ 70(1W MPa
al lat l
7T(0,025 m)2
105(10)3 MPa
(2)
Resolvendo as equações 1 e 2 simultaneamente, temos
F"1 = 30kN F;at = 15 kN
Visto que os resultados são positivos, a tensão será,
realmente, de compressão.
Portanto, a tensão normal média no alumínio e no latão é
lat
30 kN = 5,09 MPa
1T[(0,05 m)2 - (0,025 m)2]
15 kN = 7,64 MPa
Resposta
a: =
1r[ (0,025 m)2]
Resposta
As distribuições de tensão são mostradas na Figura 4.13c.
As três barras de aço A-36 mostradas na Figura 4.14a
estão conectadas por pinos a um elemento rígido. Se a carga
aplicada ao elemento for 15 kN, determine a força desenvolvida
em cada barra. Cada uma das barras AB e EF
tem área de seção transversal de 25 mm2, e a barra CD tem
área de seção transversal de 15 mm2•
SOLUÇÃO
Equilíbrio. O diagrama de corpo livre do elemento rígido
é mostrado na Figura 4.14b. Esse problema é estaticamente
indeterminado visto que há três incógnitas e somente duas
equações de equilíbrio disponíveis. Essas equações são
+t2:F
y
=o· ' (1)
1+ 2:Mc =O; -JS1(0,4 m) + 15 kN(0,2 m) + Fe(0,4 m) =O (2)
Cor
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= 7,64 MPa
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(b)
Figura 4.13
(c)
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