Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

CARGA AXIAL 87
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da de será d. A tensão e a e onnaçao no e emen o sao
P(x)
(J' = A(x )
e
do
E= dx
Contanto que essas quantidades não ultrapassem
limite de proporcionalidade, podemos relacioná-las
o . '
usando a lei de Hooke, tsto e,
(J' = EE
P(x) = E ( do )
A(x) dx
P(x) dx
do = A(x)E
Para o comprimento total da barra, L, devemos integrar
essa expressão para determinar o deslocamento
da extremidade exigido. Isso nos dá
onde
0
=
[LP(x) dx
}0 A(x)E
(4.1)
o = deslocamento de um ponto na barra relativo
a um outro ponto
L = distância original entre os pontos
P(x) = força axial interna na seção, localizada a distância
x de uma extremidade
A(x) = área da seção transversal da barra, expressa
em função de x
E = módulo de elasticidade para o material
Carga constante e área de seção transversal.
Em muitos casos, a barra terá uma área de seção transversal
constante, A; e o material será homogéneo, de
modo que E é constante. Além do mais, se uma força
externa constante for aplicada a cada extremidade (Figura
4.3), então a força interna P também será constante
cm todo o comprimento da barra. O resultado é
que a Equação 4.1 pode ser integrada e nos dará
X
E]] E
(4.2)
i> [3-+ P
L
Figura 4.3
8
Se a barra for submetida a várias forças axiais diferentes,
ou se a área da seção transversal ou o módulo
de elasticidade mudar repentinamente de uma região
da barra para outra, a equação acima poderá ser aplicada
a cada segmento da barra onde todas essas quantidades
são constantes. Então, o deslocamento de uma
extremidade da barra em relação à outra é determinado
pela adição algébrica dos deslocamentos das extremidades
de cada segmento. Para esse caso geral,
(4.3)
Convenção de sinais. Para aplicar a Equação 4.3,
temos de desenvolver uma convenção de sinal para a
força axial interna e o deslocamento de uma extremidade
da barra em relação à outra extremidade. Para
tanto, consideraremos que ambos, força e deslocamento,
são positivos se provocarem tração e alongamento,
respectivamente (Figura 4.4); ao contrário, força e deslocamento
negativos causarão compressão e contração,
respectivamente.
Por exemplo, considere a barra mostrada na Figura
4.5a. As forças axiais internas,"P", são determinadas
pelo método das seções para cada segmento
(Figura 4.5b). Elas são P A B = +5 kN, PBc = -3 kN,
P cn = -7 kN. Essa variação na carga axial é mostrada
no diagrama de força normal para a barra (Figura
4.5c ). Aplicando a Equação 4.3 para obter o deslocamento
da extremidade A em relação à extremidade
D, temos
"" PL (5 kN)LAB ( -3 kN)LBc (-7 kN)Lcv
ôA;n= Ā Ē = AE
+x -
+
1---H
III
+ P C]
H
+8
Figura 4.4
AE
E, + P l!o -+x
+8
+ -- ĀĒ
-