Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DE UMA ÁREA 577
A principal finalidade da utilização do círculo de Mohr aqui é dispor de um modo conveniente para transformar I,,
I,. e I ,Y nos momentos principais de inércia. O procedimento descrito a seguir nos dá um método para fazer isso.
Calcule I , I e I .
X y Xl
Determine os eixos x, y para a área, com a origem localizada no ponto P de interesse, normalmente o centroide,
e determine I,, I Y
e I,Y (Figura A.17a).
y
y'
R= (lx - I;'{ 2
- 2 -) + I,y
I,---t
\1
l,y
(a) (b)
Figura A.17
Construa o círculo
Determine um sistema coordenado retangular tal que a abscissa represente o momento de inércia I e a ordenada
represente o produto de inércia I9, (Figura A.17b ). Determine o centro do círculo, C, que está localizado a uma distância
(/, + Iv)/2 da origem, e marque o 'ponto de referência' A cujas coordenadas são (/,, /".).Por definição, I, é sempre
positivo, ao passo que I,)' será ou positivo ou negativo. Ligue o ponto de referência A ao céntro do círculo e determine
a distância CA por trigonometria. Essa distância representa o raio elo círculo (Figura A.17b.) Por fin1, trace o círculo.
Momentos principais de inércia
Os pontos onde o círculo intercepta a abscissa dão os valores dos momentos principais de inércia /mín e /máx' Observe
que o produto de inércia será igual a zero nesses pontos (Figura A.l7b ).
Para determinar a direção elo eixo principal maior, calcule por trigonometria o ângulo 28 l' p
medido entre o raio
CA e o eixo I positivo (Figura A.17b ). Esse ângulo representa duas vezes o ângulo entre o eixo x e o eixo ele momento
ele inércia máximo I . (Figura A.17a). O ângulo no círculo, 28 1, e o ângulo na área, 8 1, devem ser medidos no mesmo
mnx p p
sentido, como mostrado na Figura A.l7. O eixo menor serve para o momento de inércia mínimo /mín' que é perpendicular
ao eixo maior que define l m áx'
Use o Círculo de Mohr para determinar os momentos
principais de inércia para a área da seção transversal da
viga mostrada na Figura A.l8a, em relação aos eixos que
passam pelo centroide C.
SOLUÇÃO
Os momentos de inércia e o produto
de inércia foram determinados nos exemplos A.3 e A.4
em relação aos eixos x, y mostrados na Figura A.l8a. Os
resultados são I, = 2,90(109)mm4, I Y = 5,60(109)mm4 e
( y
= -3,00(109)mm4•
Calcule l,, I>' l, y-
Construa o círculo. Os eixos I e I são mostrados na
xy
Figura A.18b. O centro do círculo, C, está a uma distância
(I, + 1)12 = (2,90 + 5,60)/2 = 4,25 da origem. Ligando o
ponto de referência A(2,90, -3,00) ao ponto C, o raio CA
pode ser determinado aplicando o teorema de Pitágoras ao
triângulo sombreado CBA:
CA = V(1,35)2 + ( -3,00)2 = 3,29
O círculo construído é mostrado na Figura A.18c.
Momentos principais de inérda. O círculo intercepta o
eixo I nos pontos (7,54, O) e (0,960, 0). Por consequência,
l m ix 7,54(109)mm4 Resposta
=
lmín = 0,960(109)mm4
Resposta