Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DE UMA ÁREA 575
y'
y
Observe que, se somarmos a primeira e a segunda
equações, veremos que o momento polar de inércia em
torno do eixo z que passa pelo ponto O é independente
da orientação dos eixos x' e y', isto é,
10 = I", + I,. = I" + I Y
Figura A.14
I" Y
são conhecidos. Como mostra a Figura A.14, as coordenadas
para o elemento de área dA em relação aos
dois sistemas de coordenadas estão relacionadas pelas
equações de transformação
x' = x cos 8 + y sen 8
y' = y cos e - x sen e
Por essas equações, os momentos e produto de
inércia de dA em torno dos eixos x' e y' tornam-se
dix' = y' 2 dA = (y cos e - X sen e? dA
diy' = x'2 dA = (x cos 8 + ysen e)2 dA
dix'y' = x'y' dA
= (x cos e + y sen e)(y cos e - x sen e) d
Expandindo cada expressão e integrando, e percebendo
que I" = f y2 dA, I Y
= J x2 dA e I" Y
= J xy dA,
obtemos
I , = I cos2 e + I sen2 e
X X )' X)'
I , = I sen2 e + I cos2 e + 2I
) ' X )' A)'
2I sen e cos e
sen e cos e
I