Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)
PROPRIEDADES GEOMÉTFICAS DE UMA ÁREA 571 O segundo termo é zero, visto que o eixo x' passa pelo centroide da área C, isto é, f y' dA = y' A = O, já que y' = O. Portanto, o resultado final é - - 2 I, - I,· + Ady (A.S) Uma expressão semelhante pode ser escrita para Iv, isto é, Iy - - Il + Ad, 2 (A.6) E, por fim, para o momento polar de inércia em torno de um eixo perpendicular ao plano x-y e que passa pelo polo O (eixo z) (FiguraA.6), temos Determine o momento de inércia da área da seção transversal da viga T mostrada na Figura A.7a em torno do eixo centro ide x ' . SOLUÇÃO I A área é subdividida em dois retângulos como mostra a Figura A.7a para determinar a distância entre o eixo x ' e cada eixo centroide. Pela tabela apresentada no final deste livro, o momento de inércia de um retângulo em torno de seu eixo centroide é I= l/12bh3• Aplicando o teorema dos eixos paralelos (Equação A.5), a cada retângulo e somando os resultados, temos (A.7) A forma de cada uma dessas equações estipula que o momento de inércia de uma área em torno de um eixo é igual ao momento de inércia em torno de um eixo paralelo que passa pelo 'centroide' mais o produto entre a área e o quadrado da distância perpendicular entre os eixos. Áreas compostas. Muitas áreas de seção transversal consistem em uma série de formas mais simples interligadas, como retângulos, triângulos e semicírculos. Contanto que o momento de inércia de cada uma dessas formas seja conhecido ou possa ser determinado em torno de um eixo comum, o momento de inércia da 'área composta' pode ser determinado como a soma algébrica dos momentos de inércia de suas partes compostas. Para determinar adequadamente o momento de inércia de tal área em torno de um eixo específico, em primeiro lugar é necessário dividir a área em suas partes compostas e indicar a distância perpendicular entre o eixo especificado e o eixo centroide paralelo de cada parte. A tabela apresentada no final deste livro pode ser usada para calcular o momento de inércia em torno do eixo centroide de cada parte. Se esse eixo não coincidir com o especificado, o teorema do eixo paralelo, I = I + Ad2, deve ser usado para determinar o momento de inércia da parte em questão em torno do eixo especificado. Então, o momento de inércia da área inteira em torno desse eixo é determinado pela soma dos resultados de suas partes compostas. Em particular, se uma parte composta tiver um 'furo', o momento de inércia para a parte composta será determinado 'subtraindo-se' o momento de inércia do furo do momento de inércia da área inteira que inclui o furo. Os exemplos apresentados a seguir ilustram a aplicação desse método. - 2 I= 2I,. + Ady 2cm (a) 3cm2 cm3 cm (b) Figura A.7 = l l (2 cm)(lO cm)3 + (2 cm)(lO cm)(8,55 cm - 5 cm)2] + l l (8 cm)(3 cm)3 + (8 cm)(3 cm)(4,45 cm - 1,5 cm)2] I = 646 cm4 Resposta SOLUÇÃO 11 A área pode ser considerada como um único retângulo grande menos dois retângulos pequenos, como mostram as linhas tracejadas na Figura A.7b. Temos
572 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I= 2],, + Ad/ = [: 2 (8 cm)(13 cm? + (8 cm)(13 cm)(8,55 cm - 6,5 cm? J - [ 1 (3 cm)(10 cm? + (3 cm)(10 cm)(8,55 cm - 5 cmf J I = 646 cm 4 Resposta Determine os momentos de inércia da área da seção transversal da viga mostrada na Figura A.8a em torno dos eixos centroides x e y. SOLUÇÃO A seção transversal pode ser considerada como três áreas compostas retangulares A, B e D mostradas na Figura A.8b. Para o cálculo, o centroide de cada um desses retângulos é localizado na figura. Pela tabela apresentada no final deste livro, o momento de inércia de um retângulo em torno de seu eixo centroide é I = 1/12bh3• Por consequência, usando o teorema dos eixos paralelos para os retângulos A e D, os cálculos são os seguintes: Retângulo A: Retângulo 8: - 2 1 3 12 (100 mm)(300 mm) l, = I ,. + Ady = + (100 mm)(300 mm)(200 mm) 2 - ly = I y' + Ad, = 12 1 2 (300 mm)(100 mm) 3 + (100 mm)(300 mm)(250 mm)2 1 l, = 12 (600 mm)(100 mm? = 0,05(109) mm4 1 Iy = 12 (100 mm)(600 mm? = 1,80(109) mm 4 OOmm y 1 400mm ,_I-- I lOOmm 1f -x 400mm j_ l --600mm lOOmm (a) (b) --i L_ Figura A.8 2 1 3 12 (300 mm)(100 mm) + (100 mm)(300 mm)(250 mm)2 Iy = ly' + Adx = Logo, os momentos de inércia para a seção transversal inteira são 1, = 1,425(109) + 0,05(109) + 1,425(109) = 2,90(109) mm4 Resposta ly = 1,90(109) + 1,80(109) + 1,90(109) = 5,60(109) mm4 Resposta Retângulo 0: 1, = lx' + Ad/ = 1 1 2 (100 mm)(300 mm) 3 + (100 mm)(300 mm)(200 mm)2 3 uto F uma area r a Em geral, o momento de inércia para uma área é diferente para cada eixo em torno do qual é calculado. Em
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PROPRIEDADES GEOMÉTFICAS DE UMA ÁREA 571<br />
O segundo termo é zero, visto que o eixo x' passa pelo<br />
centroide da área C, isto é, f y' dA = y' A = O, já que<br />
y' = O. Portanto, o resultado final é<br />
- - 2<br />
I, - I,· + Ady (A.S)<br />
Uma expressão semelhante pode ser escrita para<br />
Iv, isto é,<br />
Iy - - Il + Ad,<br />
2<br />
(A.6)<br />
E, por fim, para o momento polar de inércia em torno<br />
de um eixo perpendicular ao plano x-y e que passa<br />
pelo polo O (eixo z) (FiguraA.6), temos<br />
Determine o momento de inércia da área da seção<br />
transversal da viga T mostrada na Figura A.7a em torno do<br />
eixo centro ide x ' .<br />
SOLUÇÃO I<br />
A área é subdividida em dois retângulos como mostra a Figura<br />
A.7a para determinar a distância entre o eixo x ' e cada<br />
eixo centroide. Pela tabela apresentada no final deste livro,<br />
o momento de inércia de um retângulo em torno de seu eixo<br />
centroide é I= l/12bh3• Aplicando o teorema dos eixos paralelos<br />
(Equação A.5), a cada retângulo e somando os resultados,<br />
temos<br />
(A.7)<br />
A forma de cada uma dessas equações estipula<br />
que o momento de inércia de uma área em torno de<br />
um eixo é igual ao momento de inércia em torno<br />
de um eixo paralelo que passa pelo 'centroide' mais o<br />
produto entre a área e o quadrado da distância perpendicular<br />
entre os eixos.<br />
Áreas compostas. Muitas áreas de seção transversal<br />
consistem em uma série de formas mais simples<br />
interligadas, como retângulos, triângulos e semicírculos.<br />
Contanto que o momento de inércia de cada uma<br />
dessas formas seja conhecido ou possa ser determinado<br />
em torno de um eixo comum, o momento de inércia<br />
da 'área composta' pode ser determinado como a<br />
soma algébrica dos momentos de inércia de suas partes<br />
compostas.<br />
Para determinar adequadamente o momento de<br />
inércia de tal área em torno de um eixo específico, em<br />
primeiro lugar é necessário dividir a área em suas partes<br />
compostas e indicar a distância perpendicular entre<br />
o eixo especificado e o eixo centroide paralelo de cada<br />
parte. A tabela apresentada no final deste livro pode<br />
ser usada para calcular o momento de inércia em torno<br />
do eixo centroide de cada parte. Se esse eixo não coincidir<br />
com o especificado, o teorema do eixo paralelo, I<br />
= I + Ad2, deve ser usado para determinar o momento<br />
de inércia da parte em questão em torno do eixo especificado.<br />
Então, o momento de inércia da área inteira<br />
em torno desse eixo é determinado pela soma dos resultados<br />
de suas partes compostas. Em particular, se<br />
uma parte composta tiver um 'furo', o momento de<br />
inércia para a parte composta será determinado 'subtraindo-se'<br />
o momento de inércia do furo do momento<br />
de inércia da área inteira que inclui o furo.<br />
Os exemplos apresentados a seguir ilustram a aplicação<br />
desse método.<br />
- 2<br />
I= 2I,. + Ady<br />
2cm<br />
(a)<br />
3cm2 cm3 cm<br />
(b)<br />
Figura A.7<br />
= l l<br />
(2 cm)(lO cm)3 + (2 cm)(lO cm)(8,55 cm - 5 cm)2]<br />
+ l l<br />
(8 cm)(3 cm)3 + (8 cm)(3 cm)(4,45 cm - 1,5 cm)2]<br />
I = 646 cm4<br />
Resposta<br />
SOLUÇÃO 11<br />
A área pode ser considerada como um único retângulo grande<br />
menos dois retângulos pequenos, como mostram as linhas<br />
tracejadas na Figura A.7b. Temos