Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

570 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
2;yA _ [6,5 cm](l3 cm)(8 cm) - 2[5 cm](lO cm)(3 cm)
(13 cm)(8 cm) - 2(10 cm)(3 cm)
= 8,55 cm
_
Y = 2;A -
Resposta
y
A.2
Momento de inércia
uma área
Quando calculamos o centroide de uma área, consideramos
o momento de primeira ordem da área em
torno de um eixo; isto é, para executar o cálculo foi preciso
calcular uma integral da forma fx dA. Há alguns
tópicos da resistência dos materiais que exigem o cálculo
de uma integral do momento de segunda ordem
de uma área, isto é, J x2 dA. Essa integral é denominada
momento de inércia de uma área. Para mostrar a definição
formal do momento de inércia, considere a área
A, mostrada na Figura A.5, que se encontra no plano
x-y. Por definição, os momentos de inércia do elemento
diferencial dA em torno dos eixos x e y são di, = y2dA e
di = x2dA, respectivamente. Para a área inteira, o momnto
de inércia é determinado por integração, isto é,
I, = 1 y2 dA
I y = 1x2 dA
A
(A.3)
Também podemos expressar o momento de segunda
ordem do elemento diferencial em torno do polo
O ou eixo z (Figura A.5), denominado momento polar
de inércia, di 0 = r2dA. Nessa expressão, r é a distância
perpendicular entre o polo (eixo z) e o elemento dA.
O momento polar de inércia para a área inteira é
Figura A.5
Teorema dos eixos paralelos para uma área.
Se o momento de inércia de uma área em torno de
um eixo centroide for conhecido, poderemos determinar
o momento de inércia da área em torno de um
eixo paralelo correspondente por meio do teorema dos
eixos paralelos. Para deduzir esse teorema, considere
a determinação do momento de inércia em torno do
eixo x da área mostrada na Figura A.6. Nesse caso, um
elemento diferencial dA está localizado a uma distância
arbitrária y' do eixo centroide x', ao passo que a
distância fixa entre os eixos paralelos x e x ' é definida
como d . Visto que o momento de inércia de dA em
torno do
)'
eixo x é d( = (y' + dy)2dA , então, para a
área inteira,
I, =
1
(y' + d)l dA
= 1y'2 dA + 2dy1 y' dA + d/
1 dA
O primeiro termo do lado direito represent o
momento de inércia da área em torno do eixo x', Ix '.
J = 1 r 2 dA = I. + I y (A.4)
0
A relação entre J 0 e I,, I Y é possível, contanto que
rz = x2 + y2 (Figura A.5).
Pelas formulações acima, vemos que I,, I Y e J 0 sempre
serão positivos, já que envolvem o produto entre o
quadrado de uma distância e uma área. Além disso, as
unidades para o momento de inércia envolvem comprimento
elevado à quarta potência, por exemplo, m\
mm4 ou pé4, pol4•
As equações acima foram usadas para calcular os
momentos de inércia em torno dos eixos centroides de
algumas formas de áreas comuns, apresentados no final
deste livro.
y
o
y'
r.-c 1\ ,-w x '
d>1
)'
X
Figura A.6