Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

MÉTODOS DE ENERGIA 561
Substituindo A e E pelos valores numéricos, obtemos
6.
_ 965,7 kN ·m
c , - [400(10-6) m2] 200(106) kNjm2
= 0,01207 m = 12,1 mm Resposta
Essa solução deve ser comparada com a do Exemplo
14.11, usando o método do trabalho virtual.
_i_
ô. =
aP 0
1L 2
lvl dx
2EI
Em vez de elevar a expressão ao quadrado para o
momento interno M, integrar e então calcular a derivada
parcial, em geral é mais fácil derivar antes da integração.
Uma vez que E e I são constantes, temos
onde
L).
=
1LM(aM) dx
o aP EI
(14.49)
14.117. Resolva o Problema 14.71 usando o teorema de Ll deslocamento do ponto provocado pelas cargas
Castigliano.
reais que agem sobre a viga
14.118. Resolva o Problema 14.73 usando o teorema de P força externa de intensidade variável aplicada à
Castigliano.
viga na direção de ô.
14.119. Resolva o Problema 14.74 usando o teorema de M momento interno na viga, expresso em função
Castigliano.
de x e provocado por ambas, a força P e as cargas
sobre a
''14.120. Resolva o Problema 14.72 usando o teorema de
Castigliano.
viga
Se tivermos que determinar a inclinação da tangen­
em um ponto sobre a linha elástica, temos que de­
14.121. Resolva o Problema 14.75 usando o teorema de E módulo de elasticidade do material
Castigliano.
I
14.122. Resolva o Problema 14.76 usando o teorema de
Castigliano.
14.123. Resolva o Problema 14.77 usando o teorema de
Castigliano.
te e
*14.124. Resolva o Problema 14.80 usando o teorema de
Castigliano.
14.125. Resolva o Problema 14.78 usando o teorema de
Castigliano.
14.126. Resolva o Problema 14.79 usando o teorema de
Castigliano.
e
14.127. Resolva o Problema 14.81 usando o teorema de
= r M
( aM) dx
aM' EI
Castigliano.
'14.128. Resolva o Problema 14.84 usando o teorema de
Castigliano.
14.129. Resolva o Problema 14.82 usando o teorema de
Castigliano.
14.130. Resolva o Problema 14.83 usando o teorema de
Castigliano.
14.131. Resolva o Problema 14.85 usando o teorema de
Castigliano.
''14.132. Resolva o Problema 14.86 usando o teorema de
Castigliano.
*1 10 lia no
a
a
momento de inércia da área da seção transversal,
calculado em torno do eixo neutro
terminar a derivada parcial do momento interno M em
relação a um momento externo M' que age no ponto.
Para esse caso,
lo
(14.50)
As equações acima assemelham-se às usadas
para o método do trabalho virtual (equações 14.42
e 14.43), exceto que m e 1118 substituem aM/aP e
aM/aM', respectivamente.
Devemos mencionar que, se a carga que age sobre
um elemento provocar energia de deformação significativa
dentro do elemento devido a carga axial, cisalhamento,
momento fletor e momento de torção, então
os efeitos de todas essas cargas devem ser incluídos
quando da aplicação do teorema de Castigliano. Para
tal, devemos usar as funções de energia de deformação
desenvolvidas na Seção 14.2, juntamente com suas derivadas
parciais associadas. O resultado é
A energia de deformação interna para uma viga é
provocada por ambas, flexão e cisalhamento. Todavia,
como destacamos no Exemplo 14.7, se a viga for comprida
e esbelta, a energia de deformação decorrente do
cisalhamento pode ser desprezada em comparação com
a de flexão. Considerando que seja esse o caso, a energia
de deformação interna para uma viga é dada por
U = jMZdx/2EI (Equação 14.17). Substituindo em
ô.' = aUJaP (Equação 14.47), e omitindo o índice i, temos
l l l
(14.51)
O método de aplicação dessa formulação geral é
semelhante ao usado na aplicação das equações 14.49
e 14.50.