Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)
MÉTODOS DE ENERGIA 557 14.114. A estrutura em L é composta por dois segmentos, cada um com comprimento L e rigidez à flexão EI. Se for submetida à carga distribuída uniforme, determine o deslocamento vertical do ponto B. c IV Problema 14.110 14.111. A barra ABC tem seção transversal retangular de 300 mm por 100 mm. A haste acoplada DB tem diâmetro de 20 mm. Se ambos os elementos forem feitos de aço A-36, determine a inclinação em A provocada pela carga. Considere somente o efeito da flexão em ABC e da força axial em DB. Problema 14.113/114 14.115. Determine o deslocamento horizontal do ponto C. EI é constante. Há um apoio fixo em A. Considere somente o efeito da flexão. 3kN A B Problema 14.111 "'14.112. Determine o deslocamento vertical do ponto A na cantoneira, resultante da força concentrada P. A cantoneira está engastada em seu apoio. EI é constante. Considere somente o efeito da flexão. A Problema 14.115 l l,S m +4kN T '"14.116. O anel repousa sobre a superfície rígida e está sujeito à carga vertical P. Determine o deslocamento vertical em B. EI é constante. p L B Problema 14.112 14.113. A estrutura em L é composta por dois segmentos, cada um com comprimento L e rigidez à flexão EI. Se for submetida à carga distribuída uniforme, determine o deslocamento horizontal da extremidade C. A Problema 14.116
558 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS *1 8 no ln 1879, Alberto Castigliano, um engenheiro de ferrovias italiano, publicou um livro no qual descrevia um método para determinar o deslocamento e a inclinação em um ponto em um corpo. Esse método, denominado segundo teorema de Castigliano, aplica-se somente a corpos que tenham temperatura constante e cujo material tenha comportamento linear elástico. Se o deslocamento em um ponto tiver de ser determinado, o teorema afirma que o deslocamento é igual à derivada parcial de primeira ordem da energia de deformação no corpo em relação a uma força que age no ponto e na direção do deslocamento. De modo semelhante, a inclinação da tangente em um ponto em um corpo é igual à derivada parcial de primeira ordem da energia de deformação no corpo com relação a um momento que age no ponto e na direção do ângulo da inclinação. Para deduzir o segundo teorema de Castigliano, considere um corpo de forma arbitrária, que é submetido a uma série de n forças, Pl' P 2 , ..., P " (Figura 14.39). Visto que o trabalho externo realizado por essas forças equivale à energia de deformação interna armazenada no cmpo, podemos aplicar a conservação de energia, isto é, U=V 1 e Todavia, o trabalho externo é função das cargas externas, U e = 2-f P dx (Equação 14.1 ), portanto o trabalho interno também é função das cargas externas. Assim, (14.44) Agora, se qualquer uma das forças externas, digamos P i' aumentar de uma quantidade diferencial dP , o trabalho interno também aumentará, de modo tal que a energia de deformação torna-se au. V· + dU· = V· + - ' dP 1 1 1 ap. ] p" \ I _.-- Pl (14.45) Entretanto, esse valor não deve depender da sequência na qual as n forças são aplicadas ao corpo. Por exemplo, poderíamos aplicar primeiro dP i ao corpo, então aplicar as cargas P P P 2 , ... ,P " . Nesse caso,dP i provocaria 0 deslocamento do corpo por uma quantidade diferencial dfli na direção de dPr Pela Equação 14.2, (U e = +Pfl), o incremento de energia de deformação seria +dPd6. . Todavia, essa quantidade é uma diferencial ele segJnd ordem e pode ser desprezada. A aplicação adicional das cargas P 1 , P 2 , ... , P " faz com que dP i desloque-se de fl p de modo que a energia de deformação torna-se (14.46) Aqui, como acima, V; é a energia ele deformação interna no corpo, provocada pelas cargas P I ' P 2 , ... , P " e dU = dP fl. é a energia de deformação adicional prol I I vocacla por dP .. I Resumindo, a Equação 14.45 representa a energia ele deformação no corpo determinada pela aplicação em primeiro lugar das cargas P 1 , P 2 , ... , Pn, e a seguir dP i ; a Equação 14.46 representa a energia de deformação determinada aplicando-se em primeiro lugar dP. e a seguir as cargas P 1 , P 2 , ... , P " . Visto que essas dua equações devem ser iguais, exige-se fl. = aU; I aP- ' (14.47) o que prova o teorema; isto é, o deslocamento fl na direção de P i é igual à derivada parcial de primeir ordem ela energia de deformação em relação a P . I Devemos observar que a Equação 14.47 é uma declaração referente aos requisitos de compatibilidade do corpo, visto que é uma condição relacionada com deslocamento. Além disso, a dedução acima exige que somente forças conservativas sejam consideradas para a análise. Essas forças podem ser aplicadas em qualquer ordem e, além disso, realizam trabalho que é independente do caminho e, portanto, não criam nenhuma perda de energia. Como o material tem comportamento linear elástico, as forças aplicadas serão conservativas e o teorema é válido. Devemos mencionar também que o primeiro teorema ele Castigliano assemelha-se ao segundo; todavia, relaciona a carga P i com a derivada parcial da energia de deformação em relação ao deslocamento correspondente, isto é, P = a V I afl .A prova é semelhante à dada acima. Esse te- ' l I orema constitui outro modo de expressar os requisitos de equilíbrio para o corpo; contudo, sua aplicação é limitada e não o discutiremos aqui. Figum 14.39 ap a li ano Visto que um elemento de treliça está sujeito a uma carga axial, a energia de deformação é dada pela
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558 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS<br />
*1 8 no<br />
ln 1879, Alberto Castigliano, um engenheiro de ferrovias<br />
italiano, publicou um livro no qual descrevia um<br />
método para determinar o deslocamento e a inclinação<br />
em um ponto em um corpo. Esse método, denominado<br />
segundo teorema de Castigliano, aplica-se somente a<br />
corpos que tenham temperatura constante e cujo material<br />
tenha comportamento linear elástico. Se o deslocamento<br />
em um ponto tiver de ser determinado, o teorema<br />
afirma que o deslocamento é igual à derivada parcial<br />
de primeira ordem da energia de deformação no corpo<br />
em relação a uma força que age no ponto e na direção<br />
do deslocamento. De modo semelhante, a inclinação da<br />
tangente em um ponto em um corpo é igual à derivada<br />
parcial de primeira ordem da energia de deformação no<br />
corpo com relação a um momento que age no ponto e<br />
na direção do ângulo da inclinação.<br />
Para d<strong>ed</strong>uzir o segundo teorema de Castigliano, considere<br />
um corpo de forma arbitrária, que é submetido a<br />
uma série de n forças, Pl' P 2 , ..., P "<br />
(Figura 14.39). Visto<br />
que o trabalho externo realizado por essas forças equivale<br />
à energia de deformação interna armazenada no<br />
cmpo, podemos aplicar a conservação de energia, isto é,<br />
U=V<br />
1 e<br />
Todavia, o trabalho externo é função das cargas externas,<br />
U e = 2-f P dx (Equação 14.1 ), portanto o trabalho<br />
interno também é função das cargas externas. Assim,<br />
(14.44)<br />
Agora, se qualquer uma das forças externas, digamos<br />
P i' aumentar de uma quantidade diferencial dP , o<br />
trabalho interno também aumentará, de modo tal que<br />
a energia de deformação torna-se<br />
au.<br />
V· + dU· = V· + -<br />
' dP<br />
1 1 1<br />
ap. ]<br />
p"<br />
\<br />
I<br />
_.-- Pl<br />
(14.45)<br />
Entretanto, esse valor não deve depender da sequência<br />
na qual as n forças são aplicadas ao corpo. Por exemplo,<br />
poderíamos aplicar primeiro dP i<br />
ao corpo, então<br />
aplicar as cargas P P P 2 , ... ,P "<br />
. Nesse caso,dP i provocaria 0<br />
deslocamento do corpo por uma quantidade diferencial<br />
dfli na direção de dPr Pela Equação 14.2, (U e = +Pfl),<br />
o incremento de energia de deformação seria +dPd6. .<br />
Todavia, essa quantidade é uma diferencial ele segJnd<br />
ordem e pode ser desprezada. A aplicação adicional das<br />
cargas P 1 , P 2 , ... , P "<br />
faz com que dP i<br />
desloque-se de fl p de<br />
modo que a energia de deformação torna-se<br />
(14.46)<br />
Aqui, como acima, V; é a energia ele deformação<br />
interna no corpo, provocada pelas cargas P I '<br />
P 2 , ... , P "<br />
e<br />
dU = dP fl. é a energia de deformação adicional prol<br />
I I<br />
vocacla por dP ..<br />
I<br />
Resumindo, a Equação 14.45 representa a energia<br />
ele deformação no corpo determinada pela aplicação<br />
em primeiro lugar das cargas P 1 , P 2 , ... , Pn, e a seguir<br />
dP i ; a Equação 14.46 representa a energia de deformação<br />
determinada aplicando-se em primeiro lugar dP.<br />
e a seguir as cargas P 1 , P 2 , ... , P "<br />
. Visto que essas dua<br />
equações devem ser iguais, exige-se<br />
fl. = aU;<br />
I aP-<br />
'<br />
(14.47)<br />
o que prova o teorema; isto é, o deslocamento fl na<br />
direção de P i é igual à derivada parcial de primeir ordem<br />
ela energia de deformação em relação a P .<br />
I<br />
Devemos observar que a Equação 14.47 é uma declaração<br />
referente aos requisitos de compatibilidade do<br />
corpo, visto que é uma condição relacionada com deslocamento.<br />
Além disso, a d<strong>ed</strong>ução acima exige que somente<br />
forças conservativas sejam consideradas para a análise.<br />
Essas forças podem ser aplicadas em qualquer ordem e,<br />
além disso, realizam trabalho que é independente do caminho<br />
e, portanto, não criam nenhuma perda de energia.<br />
Como o material tem comportamento linear elástico, as<br />
forças aplicadas serão conservativas e o teorema é válido.<br />
Devemos mencionar também que o primeiro teorema ele<br />
Castigliano assemelha-se ao segundo; todavia, relaciona<br />
a carga P i com a derivada parcial da energia de deformação<br />
em relação ao deslocamento correspondente, isto é,<br />
P = a V I afl .A prova é semelhante à dada acima. Esse te-<br />
' l I<br />
orema constitui outro modo de expressar os requisitos de<br />
equilíbrio para o corpo; contudo, sua aplicação é limitada<br />
e não o discutiremos aqui.<br />
Figum 14.39<br />
ap<br />
a<br />
li ano<br />
Visto que um elemento de treliça está sujeito a<br />
uma carga axial, a energia de deformação é dada pela