Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

MÉTODOS DE ENERGIA 545
Esse método de aplicação do princípio do trabalho
virtual costuma ser denominado método das forças
virtuais, visto que se aplica uma força virtual, resultando
no cálculo de um deslocamento real externo. Nesse
caso, a equação do trabalho virtual representa uma declaração
de requisitos de compatibilidade para o corpo.
Embora não seja importante aqui, entenda que também
podemos aplicar o princípio do trabalho virtual
como um método de deslocamentos virtuais. Nesse caso,
deslocamentos virtuais são impostos ao corpo quando
ele é submetido a cargas reais. Esse método pode ser
usado para determinar a força de reação externa sobre
o corpo ou uma carga interna desconhecida dentro do
corpo. Quando usada dessa maneira, a equação do trabalho
virtual é uma declaração de requisitos de equilíbrio
para o corpo.*
Trabalho virtual interno. Os termos do lado direito
das equações 14.36 e 14.37 representam o trabalho
virtual interno desenvolvido no corpo. Os deslocamentos
reais internos dL nesses termos podem ser
produzidos de vários modos diferentes. Por exemplo,
esses deslocamentos podem resultar dos erros de fabricação
na geometria, da temperatura, ou o que é mais
comum, da tensão. Em particular, nenhuma restrição
foi aplicada à intensidade da carga externa, portanto
a tensão pode ser grande o suficiente para provocar o
escoamento ou até mesmo o endurecimento por deformação
( encruamento) do material.
Se considerarmos que o comportamento do material
é linear elástico e que a tensão não ultrapassa
o limite de proporcionalidade, podemos formular as
expressões para o trabalho virtual interno provocado
por tensão usando as equações de energia de deformação
elástica desenvolvidas na Seção 14.2. Elas estão
Deformação Energia de
causada por deformação
Carga axial N
Nz
lL
2EA dx
o
Cisalhamento V
0 2GA
Momento fletor M
lL Mz
o
Momento de torsão T
f,V dx
lL 2
r
2El dx
•0 2GJ
y z dx
Trabalho
virtual interno
lL dx
o
jLJ, v V dx
0 GA
lL mM dx
0 EI .
lL tT dx
0 GI
Veja Engineering mechanics: statics, lla edição, R. C. Hibbeler,
Prentice Hall, Inc.,2007.
relacionadas na coluna do centro da Tabela 14.1. Lembre-se
de que cada uma dessas expressões considera
que a tensão resultante N, V, M ou T foi aplicada gradualmente
de zero até seu valor total. Como resultado,
o trabalho realizado pela tensão resultante é mostrado
nessas expressões como metade do produto entre
a tensão resultante e seu deslocamento. No caso do
método da força virtual, entretanto, a carga virtual
'total' é aplicada antes de as cargas reais provocarem
deslocamentos e, portanto, o trabalho das cargas virtuais
internas consiste simplesmente no produto entre
a carga virtual interna e seu deslocamento real. Designando
essas cargas virtuais internas (u) pelos símbolos
correspondentes em letras minúsculas n, v, me t, o trabalho
virtual decorrente da carga axial, cisalhamento,
momento fletor e momento de torção é apresentado
na coluna do lado direito da Tabela 14.1. Portanto,
usando esses resultados, a equação do trabalho virtual
para um corpo submetido a uma carga geral pode ser
escrita como
1. Ll =
J nN dx. + J mM d
AE .
E! X
(14.38)
Nas seções seguintes aplicaremos a equação acima
a problemas que envolvem deflexões de treliças, vigas
e elementos mecânicos. Incluiremos também uma discussão
sobre como tratar os efeitos de erros de fabricação
e mudanças de temperaturas. Para aplicação, é
importante usar um conjunto consistente de unidades
para todos os termos. Por exemplo, se as cargas reais
forem expressas em quilonewtons e as dimensões do
corpo em metros, uma força virtual de 1 kN ou um
momento virtual de 1 kN-m deve ser aplicado ao corpo.
Desse modo, um deslocamento calculado Ll será
expresso em metros, e uma inclinação, calculada em
radianos.
*1 6 M
a pi
das
a
.
IÇaS
Nesta seção, aplicaremos o método das forças virtuais
para determinar o deslocamento de uma articulação
de treliça. Para ilustrar os princípios, determinaremos
o deslocamento vertical da articulação A da
treliça mostrada na Figura 14.30b. Esse deslocamento
é provocado pelas 'cargas reais' P1 e P2; como essas
cargas provocam apenas força axial nos elementos
estruturais, basta considerar o trabalho virtual interno
devido à carga axial (Tabela 14.1). Para obter esse