Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)
MÉTODOS DE ENERGIA 527 T / L (7 ·· Figura 14.16 O caso mais comum ocorre quando o eixo (ou tubo) tem uma área de seção transversal constante e o torque aplicado é constante (Figura 14.16). Logo, a integração da Equação 14.21 dá CTzLl T (14.22) Por essa equação, podemos concluir que, do mesmo modo que ocorre com um elemento estrutural submetido a carga axial, a capacidade de absorção de energia de um eixo submetido à carga de torção diminui quando o diâmetro do eixo aumenta, visto que isso aumenta i. Se a seção transversal do eixo tiver alguma outra forma que não a circular ou tubular, a Equação 14.22 deve ser modificada. Por exemplo, se for retangular com dimensões h > b, por meio de uma análise matemática baseada na teoria da elasticidade, pode-se demonstrar que a energia de deformação no eixo é determinada por onde 1 [16 b ( c = 16 3 - 3,336 -;; 1 b 4 \] (14.23) 1217 4 ) (14.24) O exemplo a seguir ilustra como determinar a energia de deformação em um eixo decorrente de uma carga de torção. O eixo tubular na Figura 14.17a está engastado na parede e é submetido aos dois torques mostrados. Determine a energia de formação armazenada no eixo decorrente dessa carga. G = 75 GPa. SOLUÇÃO Usando o método das seções, determinamos em primeiro lugar o torque interno dentro das duas regiões do eixo onde ele é constante (Figura 14.17b ). Embora esses torques (40 N ·me 15 N · m) estejam em direções opostas, isso não terá consequência para a determinação da energia de deformação, visto que o torque é elevado ao quadrado na Equação 14.22. Em outras palavras, a energia de deformação é sempre positiva. O momento polar de inércia para o eixo é T 40 N·m 40 N·m T=15 N·m (b) Figura 14.17
I I 528 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS '"A fo rça realiza trabalho quando se move por um deslocamento. Se a intensidade da força for aumentada gradualmente de zero a F, o trabalho é U = (F/2)/J., ao passo que, se a força for constante quando ocorrer o deslocamento, então U= F!J. . ., Um momento realiza trabalho quando se move por uma rotação . ., Energia de deformação resulta do trabalho interno das tensões normal e de cisalhamento. Ela é sempr e uma quantidade positiva. " A energia de deformação pode ser relacionada com as cargas internas resultantes N, V, Me T. " À medida que o comprimento da viga aumenta, a energia de deformação provocada por flexão torna-se muito maior do que a energia de deformação provocada por cisalhamento. Por essa razão, de modo geral, a en ergia de deformação por cisalhamento em vigas pode ser desprezada. Aplicando a Equação 14.22, temos 3kN 5kN I I 2kN I 5kN 300 mm l--- 400 mm -+zo mm- D = 233 f.d Resposta Problema 14.3 "'14.4. Determine a energia de deformação por torção no eixo de aço A-36. O eixo tem raio de 40 mm. 14.1. Um material é submetido a um estado plano de tensão geral. Expresse a densidade de energia de deformação em termos das constantes elásticas E, G e v e das componentes da tensão u,. uY e T rv . Problema 14.4 14. 5. Determine a energia de deformação por torção no eixo de aço A-36. O eixo tem raio de 30 mm. Pmblema 14.1 14.2. A densidade de energia de deformação deve ser a mesma, quer o estado de tensão seja representado por u , , u Y e T ," quer pelas tensões principais u1 e u 2 . Sendo esse o caso, iguále as expressões da energia de deformação para cada um desses dois casos e mostre que G = E/[2(1 + v)]. 14.3. Determine a energia de deformação no conjunto de hastes. A porção AB é de aço, BC de latão e CD de alumínio. E aço = 200 GPa, E1"' = 101 GPa e Ea1 = 73,1 GPa. 4kN·m /) !/: /. / 0,5 m 3kN·m //·y.sY C
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'"A fo rça realiza trabalho quando se move por um deslocamento. Se a intensidade da força for aumentada gradualmente<br />
de zero a F, o trabalho é U = (F/2)/J., ao passo que, se a força for constante quando ocorrer o deslocamento,<br />
então U= F!J. .<br />
., Um momento realiza trabalho quando se move por uma rotação .<br />
., Energia de deformação resulta do trabalho interno das tensões normal e de cisalhamento. Ela é sempr e uma quantidade<br />
positiva.<br />
" A energia de deformação pode ser relacionada com as cargas internas resultantes N, V, Me T.<br />
" À m<strong>ed</strong>ida que o comprimento da viga aumenta, a energia de deformação provocada por flexão torna-se muito maior<br />
do que a energia de deformação provocada por cisalhamento. Por essa razão, de modo geral, a en ergia de deformação<br />
por cisalhamento em vigas pode ser desprezada.<br />
Aplicando a Equação 14.22, temos<br />
3kN<br />
5kN<br />
I I 2kN I<br />
5kN<br />
300 mm l--- 400 mm -+zo mm-<br />
D<br />
= 233 f.d<br />
Resposta<br />
Problema 14.3<br />
"'14.4. Determine a energia de deformação por torção no<br />
eixo de aço A-36. O eixo tem raio de 40 mm.<br />
14.1. Um material é submetido a um estado plano de tensão<br />
geral. Expresse a densidade de energia de deformação<br />
em termos das constantes elásticas E, G e v e das componentes<br />
da tensão u,. uY e T rv .<br />
Problema 14.4<br />
14. 5. Determine a energia de deformação por torção no<br />
eixo de aço A-36. O eixo tem raio de 30 mm.<br />
Pmblema 14.1<br />
14.2. A densidade de energia de deformação deve ser a<br />
mesma, quer o estado de tensão seja representado por u ,<br />
, u Y<br />
e T ,"<br />
quer pelas tensões principais u1 e u 2 . Sendo esse o caso,<br />
iguále as expressões da energia de deformação para cada um<br />
desses dois casos e mostre que G = E/[2(1 + v)].<br />
14.3. Determine a energia de deformação no conjunto de<br />
hastes. A porção AB é de aço, BC de latão e CD de alumínio.<br />
E aço = 200 GPa, E1"' = 101 GPa e Ea1 = 73,1 GPa.<br />
4kN·m /)<br />
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/ 0,5 m<br />
3kN·m<br />
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