Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

MÉTODOS DE ENERGIA 525
J
_
vI
-
M1 + Px1 = O
M1 = -Px1
M 2 dx -1 L (-Px1)2 dx1
-
2EI o 2EI
Resposta
Equação 14.11. Aqui consideraremos que a viga é prismática
e tem um eixo de simetria em torno do eixo
y como mostra a Figura 14.12. Se o cisalhamento interno
na seção x for V, a tensão de cisalhamento que
age sobre o elemento de volume de material, que tem
comprimento dx e área dA, é T = VQ!It. Substituindo
na Equação 14.11, a energia de deformação para o cisalhamento
torna-se
O ::s x2 ::S L. Usando o diagrama de corpo livre da seção na
Figura 14.11d, obtemos
L+ L:MNA
=O; -Mz + 2P(xz) -P(xz + L)= O
M 2 = P(x 2 - L)
V =
J M 2 dx =
1 L [P(xz - L)]2 dx 2
I
2EI o 2EI
p2L 3
6EJ
Resposta
L ::S x3 ::S 2L. Pelo diagrama de corpo livre na Figura 14.1le,
temos
L+ L:MNA = O; -M3 + 2P(x3 - L) - P(x3) =O
M3 = P(x3 - 2L)
V =
J M 2 dx =
( 2 L [P(x 3 - 2L)F dx3
I
2EI L 2EI
p2L 3
6EI
Resposta
OBSERVAÇÃO: Esse exemplo e o anterior indicam que a
energia de deformação para a viga pode ser calculada por
meio de qualquer coordenada x adequada. Basta integrar na
faixa da coordenada onde a energia interna deve ser determinada.
Aqui, a escolha de x1 dá a solução mais simples.
Cisalhamento transversal. A energia de deformação
decorrente da tensão de cisalhamento em
um elemento de uma viga pode ser determinada pela
L
1L v 2 (l º
)
2
r 1 ( VQ)2
}v 2G h dA dx
Ui = -- 2 2dA dx
2GI A t
A integral entre parênteses é calculada em toda a área
da seção transversal da viga. Para simplificar essa expressão,
definiremos o fato r de forma para cisalhamento
como
Substituindo na equação acima, obtemos
U· =
{LfsV2 dx
(14.18)
1 Jo 2GA (14.19)
O fator de forma definido pela Equação 14.18 é um
número adimensional exclusivo para cada área de seção
transversal específica. Por exemplo, se a viga tiver
uma seção transversal retangular com largura b e altura
h (Figura 14.13), então
t = b
A= bh
I = _l_bh3
12
y
Figura 14.12
Figura 14.13