Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

498 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Se a coluna tiver um índice de esbeltez menor do
que (KL!r),P, a tensão crítica na coluna deve ser maior
do que o-1P. Por exemplo, suponha que uma coluna tenha
um índice de esbeltez (KL!r)1 < (KL/r)P, com tensão
crítica correspondente o-0 > o-1P necessária para causar
instabilidade. Quando a coluna está na iminência de
sofrerflambagem, a mudança na deformação que ocorre
nela está dentro de uma pequena faixa áE, e, por
isso, o módulo de elasticidade ou a rigidez do material
pode ser considerado como o módulo tangente, E1, definido
como a inclinação do diagrama cr-E no ponto D
(Figura 13.21a). Em outras palavras, no momento da
falha, a coluna comporta-se como se fosse feita de um
material que tivesse rigidez menor que quando comporta-se
elasticamente, E1 < E.
Portanto, em geral, à medida que o índice de esbeltez
diminui, a tensão crítica de uma coluna continua
a aumentar; e, pelo diagrama o--E, o módulo tangente
para o material diminui. Usando essa ideia, podemos
modificar a equação de Euler para incluir esses casos
de fiambagem inelástica substituindo o módulo tangente
do material E1 em vez de E, de modo que
7T2Et
(J
= ----
c r
(KL/r)2
(13.20)
Esse é o módulo tangente ou equação de Engesser, proposto
por F. Engesser em 1889.A Figura 13.2lb mostra
uma representação gráfica dessa equação para colunas
intermediárias e curtas de um material definido pelo
diagrama o--E na Figura 13.21a.
Nenhuma coluna real pode ser considerada como
perfeitamente reta nem carregada ao longo de seu eixo
centroide, como fizemos aqui. Portanto, na verdade é
muito difícil desenvolver uma expressão que nos dê
uma análise completa desse fenômeno. Devemos destacar
também que outros métodos já foram considerados
para descrever a fiambagem inelástica de colunas.
Um deles foi desenvolvido pelo engenheiro aeronáutico
F. R. Shanley e denomina-se teoria de Shanley da fiambagem
inelástica. Embora descreva melhor o fenômeno do
que a teoria do módulo tangente, como explicado aqui,
testes experimentais realizados em um grande número
de colunas, cada qual com uma aproximação da coluna
ideal, mostraram que a Equação 13.20 prevê a tensão
crítica da coluna com razoável precisão. Além do mais, a
abordagem do módulo tangente para o comportamento
da coluna inelástica é relativamente fácil de aplicar.
Uma haste maciça com 30 mm de diâmetro e 600 mm de
comprimento é feita de um material que pode ser modelado
pelo diagrama tensão-deformação mostrado na Figura
13.22. Se for usada como uma coluna apoiada por pinos,
determine a carga crítica.
O"fp = 150
SOLUÇÃO
O raio de giração é
r=
f!t =
u (MPa)
0,001 0,002
Figura 13.22
e, portanto, o índice de esbeltez é
- KL 1(600 mm)
r
=
7,5 mm
=80
A aplicação da Equação 13.20 produz
1T2E ?T z E
CTcr = ----'-1- = -- = 1 542(10-3)E (1)
(KL/r)2 (80? 1 1
'
Em primeiro lugar, consideraremos que a tensão crítica é
elástica. Pela Figura 13.22,
Assim, a Equação l torna-se
E = 150 MPa = 150 GPa
0,001
u cr
= 1,542(10-3)[150(103)]MPa = 231,3 MPa
Visto que u cr > u 1
= 150 MPa, ocorre fiambagem inelástica.
P
Pelo segundo segmento de reta do diagrama u-E da Figura
13.22, temos
Et = !::w = 270 MPa - 150 MPa = 120 GPa
L1E 0,002 - 0,001
A aplicação da Equação 1 produz
u "
= 1,542(10-3)[120(103)]MPa = 185,1 MPa
Como esse valor encontra-se entre os limites de 150 MP a e
270 MP a, ele é, na verdade, a tensão crítica.
Portanto, a carga crítica na haste é
P,, = u "
A = 185,1 MPa[?T(0,015 m)2] = 131 kN Resposta