Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)
496 RESISTÊNCI.II, DOS MATERIAIS SOLUÇÃO O cálculo das propriedades geométricas necessárias nos dá I. = _l_ (50 mm)(150 mm)3 = 14,06 X 106 mm4 .< 12 A = (50 mm)(150 mm) = 7.500 mm4 r = 14,06 X 1-'-------c-- 106 mm4 = 43,30 mm X 7.500mm2 e=25mm KL =-1(4,5 mm)(l.OOO)- 4.500 mm KL = 4.500 mm = 104 43,30 mm Visto que as curvas na Figura 13.18 foram definidas para E aço = 200(103) MPa e cre = 250 MPa, podemos usá-las para determinar o valor de PIA e, dessa forma, evitar uma solução por tentativa e erro da fórmula da secante. Aqui, KL!r , = 104. Usando a curva definida pelo índice de excentricidade ec/12 = (25 mm)(75 mm)/(43,30 mm)2 = 1, obtemos P = r, . p - "'83 MPa A (83 MPa)(7.500 mm2) = 622.500 N = 622,5 kN Resposta Podemos verificar esse valor mostrando que ele satisfaz a fórmula da secante (Equação 13.19): CTmáx = [ 1 + : sec( . fiE)] 250 622,5(10 3) N Jo [1 + (1) sec[ 4.500 mm 7.500 mm2 (2)43,3 mm 250 Jo 83[1 + sec(1,0586 rad)] 250 Jo 83[1 + sec 60,65°] 250 "' 252,3 A deflexão máxima ocorre no centro da coluna, onde CT máx = 250 MPa. Aplicando a Equação 13.16, temos v . = e[sec( fP ) - 1] max ')E! 2 [ [ = 25 mm sec = 25 mm[sec 1,0586 rad - 1] = 25 mm[ sec 60,65° - 1] 622,5(103 ) N - 200(103) N/mm2 X 14,06 X 1006rnm4 = 26,0 mm Resposta A coluna de aço W200 x 59 A-36 mostrada na Figura 13.20a está engastada na base e escorada no topo de modo que não pode deslocar-se, mas está livre para girar em torno do eixo y-y . Além disso, ela pode oscilar para o lado no plano y-z. Determine a carga excêntrica máxima que a coluna pode suportar antes de começar a fiambar ou antes de o aço sofrer escoamento. SOLUÇÃO Pelas condições de apoio, vemos que, em torno do eixo y-y, a coluna comporta-se como se estivesse presa por pinos no topo e engastada na base e sujeita a uma carga axial P (Figura 13.20b ). Em torno do eixo x-x, a coluna está livre no topo, engastada na parte inferior e sujeita uma carga axial P e ao momento M = P(200 mm) (Figura 13.20c). X p z p p X 2,8 m 4m 4m (b) Flambagem no eixo y-y Figma 13.20 eixo x-x
FLAMBAGEM DE COLUNAS 497 Flambagem no eixo y-y. Pela Figura 13.12d, o fator de 0,7(4 m) = 2,8 m = 2.800 mm. Pelá tabela no Apêndice B determinamos IY para a seção W200 x 59 e aplicando a Equação 13.11, temos comprimento efetivo é K, = 0,7, portanto (KL\ = Tr2 El y 7r2[200(103) N/mm2](20,4)(106) mm4) (P cr )y = (KL), = (2.800mm)2 = 513.647 N = 5.136 kN Escoamento no eixo x-x. Pela Figura 13.12b, K, = 2, portanto (KL), = 2(4 m) = 8 m = 8.000 mm. Usando novamente a tabela no Apêndice B para determinar A = 7.580 cm2, c = 210 mm/2 = 105 mm, e r, = 89,9 mm, e aplicando a fórmula da secante, temos ou P,[ ((KL)xfux )] u = - 1 + -sec --- -- e A 1} 2r, EA 250 = -[ PY 1 + 200 X 105 sec ( --- 8.000 PY - 7.580 89,92 2(89,9) 200(103) . 7.580 1,895 X 106 = P,[1 + 2,598 sec(1,143 X 10-3 JP: )] Resolvendo para P, por tentativa e erro e observando que o argumento para sec está em radianos, obtemos P, = 419.368 N = 419,4 kN Resposta Como esse valor é menor do que (P" ) = 5.136 kN, ocorrerá falha em torno do eixo x-x. Além disso, u = 419,4 x 103 N/7.580 mm2 = 55,3 MPa < O' e = 250 MPa. J J *1 3 Flambagem inelástica Na prática da engenharia, em geral as colunas são classificadas de acordo com o tipo de tensão desenvolvida em seu interior no momento da falha. Colunas compridas e esbeltas se tornarão instáveis quando a tensão de compressão permanecer elástica. A falha que ocorre é denominada instabilidade elástica. Colunas intermediárias falham devido a instabilidade inelástica, o que significa que a tensão de compressão na falha é maior do que o limite de proporcionalidade do material. E as colunas curtas, às vezes denominadas postes, não se tornam instáveis; mais exatamente, o material simplesmente escoa ou sofre ruptura. A aplicação da equação de Euler exige que a tensão na coluna permaneça abaixo do limite de escoamento do material (na verdade, o limite de proporcionalidade) quando a coluna sofre ftambagem e, por isso, a equação aplica-se somente às colunas compridas. Todavia, na prática, a maioria das colunas selecionadas tem comprimento intermediário. O comportamento dessas colunas pode ser estudado modificando-se a equação de Euler de modo que ela possa ser aplicada à ftambagem inelástica. Para mostrar como isso pode ser feito, considere que o material tem diagrama tensão-deformação como o mostrado na Figura 13.21a. Aqui, o limite de proporcionalidade é u1 P e o módulo de elasticidade, ou inclinação da reta AB, é E. Uma representação gráfica da hipérbole de Euler (Figura 13.8), é mostrada na Figura 13.2lb. Essa equação é válida para uma coluna que tenha um índice de esbeltez tão pequeno quanto (KL!r), P , visto que, nesse ponto, a tensão axial na coluna torna-se (}'cr = 0'/ p ' (J'D (J'/ p D E, H B Ó.E (KL) r 1 KL r A
- Page 462 and 463: • 446 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
- Page 464 and 465: 448 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Teor
- Page 466 and 467: 450 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS A 0,
- Page 468 and 469: 452 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 25 k
- Page 470 and 471: 454 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 5kN/
- Page 472 and 473: 456 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 12.9
- Page 474 and 475: 458 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS pl p
- Page 476 and 477: 460 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS OBSE
- Page 478 and 479: 462 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 13 k
- Page 480 and 481: 464 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS p p
- Page 482 and 483: 466 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 12 V
- Page 484 and 485: 468 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS O se
- Page 486 and 487: 470 RESISTtNCIA DOS MATERIAIS 40 kN
- Page 488 and 489: 472 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 12.1
- Page 490 and 491: 4 7 4 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ur
- Page 492 and 493: 476 RESISTÊNCii-\ DOS Mi-\TERii-\1
- Page 494 and 495: • 478 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
- Page 496 and 497: 480 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Essa
- Page 498 and 499: 482 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS .. C
- Page 500 and 501: 484 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS p +
- Page 502 and 503: 486 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS X Po
- Page 504 and 505: 488 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 13.1
- Page 506 and 507: 490 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 13.3
- Page 508 and 509: , 492 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 13
- Page 510 and 511: 494 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Deve
- Page 514 and 515: 498 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Se a
- Page 516 and 517: 500 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ''13
- Page 518 and 519: 502 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 13.7
- Page 520 and 521: 504 RESISTÊNCiA DOS MATERIAIS Ciad
- Page 522 and 523: 506 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Para
- Page 524 and 525: 508 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 13.8
- Page 526 and 527: FLAMBAGEM DE COLUNAS 509 13.100. A
- Page 528 and 529: FLAMBAGEM DE COLUNAS 511 razão ref
- Page 530 and 531: FLAMBAGEM DE COLUNAS 513 P. Determi
- Page 532 and 533: FLAMBAGEM DE COLUNAS 515 sível P q
- Page 534 and 535: FLAMBAGEM DE COLUNAS 517 13.126. O
- Page 536 and 537: OBJETIVOS DO CAPÍTULO Neste capít
- Page 538 and 539: MtTODOS DE ENERGIA 521 dx __L_ Figm
- Page 540 and 541: MÉTODOS DE ENERGIA 523 de 56 mm po
- Page 542 and 543: MÉTODOS DE ENERGIA 525 J _ vI - M1
- Page 544 and 545: MÉTODOS DE ENERGIA 527 T / L (7
- Page 546 and 547: MÉTODOS DE ENERGIA 529 14.11. Dete
- Page 548 and 549: MÉTODOS DE ENERGIA 531 14.21. Dete
- Page 550 and 551: MÉTODOS DE ENERGIA 533 Observe que
- Page 552 and 553: MÉTODOS DE ENERGIA 535 14.39. A mo
- Page 554 and 555: MÉTODOS DE ENERGIA 537 h dmáx ç=
- Page 556 and 557: MÉTODOS DE ENERGIA 539 SOLUÇÃO 1
- Page 558 and 559: MÉTODOS DE ENERGIA 541 0,9 m/s l 1
- Page 560 and 561: MÉTODOS DE ENERGIA 543 0,6 m/sl D
496 RESISTÊNCI.II, DOS MATERIAIS<br />
SOLUÇÃO<br />
O cálculo das propri<strong>ed</strong>ades geométricas necessárias nos dá<br />
I. = _l_ (50 mm)(150 mm)3 = 14,06 X 106 mm4<br />
.<<br />
12<br />
A = (50 mm)(150 mm) = 7.500 mm4<br />
r =<br />
14,06 X<br />
1-'-------c--<br />
106 mm4<br />
= 43,30 mm<br />
X<br />
7.500mm2<br />
e=25mm<br />
KL =-1(4,5 mm)(l.OOO)- 4.500 mm<br />
KL<br />
= 4.500 mm = 104<br />
43,30 mm<br />
Visto que as curvas na Figura 13.18 foram definidas para<br />
E aço = 200(103) MPa e cre = 250 MPa, podemos usá-las para<br />
determinar o valor de PIA e, dessa forma, evitar uma solução<br />
por tentativa e erro da fórmula da secante. Aqui, KL!r ,<br />
= 104.<br />
Usando a curva definida pelo índice de excentricidade ec/12 =<br />
(25 mm)(75 mm)/(43,30 mm)2 = 1, obtemos<br />
P =<br />
r,<br />
.<br />
p<br />
- "'83 MPa<br />
A<br />
(83 MPa)(7.500 mm2) = 622.500 N = 622,5 kN Resposta<br />
Podemos verificar esse valor mostrando que ele satisfaz a<br />
fórmula da secante (Equação 13.19):<br />
CTmáx = [ 1 + : sec( . fiE)]<br />
250 622,5(10 3) N<br />
Jo [1 + (1) sec[ 4.500 mm<br />
7.500 mm2 (2)43,3 mm<br />
250 Jo 83[1 + sec(1,0586 rad)]<br />
250 Jo 83[1 + sec 60,65°]<br />
250 "' 252,3<br />
A deflexão máxima ocorre no centro da coluna, onde<br />
CT máx = 250 MPa. Aplicando a Equação 13.16, temos<br />
v .<br />
= e[sec( fP ) - 1]<br />
max ')E! 2<br />
[ [<br />
= 25 mm sec<br />
= 25 mm[sec 1,0586 rad - 1]<br />
= 25 mm[ sec 60,65° - 1]<br />
622,5(103 ) N -<br />
200(103) N/mm2 X 14,06 X 1006rnm4<br />
= 26,0 mm Resposta<br />
A coluna de aço W200 x 59 A-36 mostrada na Figura<br />
13.20a está engastada na base e escorada no topo de modo<br />
que não pode deslocar-se, mas está livre para girar em torno<br />
do eixo y-y . Além disso, ela pode oscilar para o lado<br />
no plano y-z. Determine a carga excêntrica máxima que a<br />
coluna pode suportar antes de começar a fiambar ou antes<br />
de o aço sofrer escoamento.<br />
SOLUÇÃO<br />
Pelas condições de apoio, vemos que, em torno do eixo y-y,<br />
a coluna comporta-se como se estivesse presa por pinos no<br />
topo e engastada na base e sujeita a uma carga axial P (Figura<br />
13.20b ). Em torno do eixo x-x, a coluna está livre no topo,<br />
engastada na parte inferior e sujeita uma carga axial P e ao<br />
momento M = P(200 mm) (Figura 13.20c).<br />
X<br />
p<br />
z<br />
p<br />
p<br />
X<br />
2,8 m<br />
4m<br />
4m<br />
(b) Flambagem no eixo y-y<br />
Figma 13.20<br />
eixo x-x