Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

494 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Deve-se observar também que as curvas em cinza
na Figura 13.16 aplicam-se somente a material de
comportamento linear elástico. Será esse o caso, se a
coluna for comprida e esbelta. Contudo, se considerarmos
uma coluna robusta curta ou de comprimento
intermediário, então a carga aplicada, à medida que
aumenta, a certa altura poderá provocar o escoamento
do material e a coluna começará a comportar-se de
maneira inelástica. Isso ocorre no ponto A da curva em
preto na Figura 13.16. Ainda que a carga continue a
aumentar, a curva nunca atingirá a carga crítica; em
vez disso, a carga atingirá um valor máximo em B. Depois
desse ponto, ocorrerá uma redução repentina na
capacidade de carga à medida que a coluna continuar
a sofrer deflexões cada vez maiores.
Por fim, as curvas em cinza na Figura 13.16 também
ilustram que ocorre uma relação não linear entre
a carga P e a deflexão v. O resultado é que o princípio
da superposição não pode ser usado para determinar
a deflexão total de uma coluna provocada pela aplicação
de cargas sucessivas. Em vez disso, primeiro temos
de somar as cargas e só então determinar a deflexão
correspondente à carga resultante. Em termos físicos,
a razão por que as cargas e as deflexões sucessivas não
podem ser sobrepostas é que o momento interno da
coluna depende da carga P, bem como da deflexão v,
isto é, M = -P(e + v) (Equação 13.13). Em outras
palavras, qualquer deflexão provocada por uma componente
de carga aumenta o momento. Esse comportamento
é diferente da flexão de uma viga, na qual a
deflexão verdadeira provocada por uma carga não aumenta
o momento interno.
A fórmula da secante. A tensão máxima na
coluna pode ser determinada se entendermos que ela
é provocada pela carga axial e também pelo momento
(Figura 13.17a). O momento máximo ocorre no ponto
médio da coluna e, pelas equações 13.13 e 13.16, seu
valor é
M = IP(e + Vmáx)l M = Pe sec( ff )
(13.18)
Como mostra a Figura 13.17b, a tensão máxima na
coluna é de compressão e seu valor é
,
=
O' max
p + sec( Pec /F )
L A I \j Jjj 2
Visto que o raio de giração é definido como r 2 = I/A,
a equação acima pode ser escrita em uma forma denominada
.fórmula da secante:
L
p
tl
p
O' ,
max
(a)
Nessa expressão
p
p
M
Figura 13.17
Tensão
axial
Tensão de
flexão
11
fij9
O"máx
Tensão
resultante
(b)
= p [1 + ec sec( _f_ lP) J
A r2 2r \j JiA (13.19)
O'
= tensão elástica máxima na coluna, que ocorre
no interior do lado côncavo no ponto mé­
máx
dio da coluna. Essa tensão é de compressão
P = carga vertical aplicada à coluna. P < P,, a
menos que e = O, então P = P,, (Equação
13.5)
e = excentricidade da carga P, medida do eixo
neutro da área da seção transversal da coluna
até a linha de ação de P
c = distância do eixo neutro até a fibra externa
da coluna onde ocorre a tensão de compressão
máxima O' .
max
A área da seção transversal da coluna
L = comprimento não apoiado da coluna no
plano de flexão. Para outros apoios, exceto
pinos, o comprimento efetivo Le deve ser
usado. Vej a Figura 13.12
E módulo de elasticidade para o material
r = raio de giração, r = \1171I, onde I é calculado
em torno do eixo neutro ou de flexão
Assim como a Equação 13.16, a Equação 13.19 indica
que há uma relação não linear entre a carga e a
tensão. Por consequência, o princípio da superposição
não é aplicável e, portanto, as cargas têm de ser somadas
antes de determinar a tensão. Além do mais, em
razão dessa relação não linear, qualquer fator de segurança
usado para a finalidade de projeto aplica-se à
carga, e não à tensão.