Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)
, 492 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 13.41. A engasta da haste em de bronze C86100 de 50 mm de diâmetro está A e afastada 2 mm da parede em B. o aumento de temperatura Determine I:!.T da haste. Considere que o conta to que em provocará a fiambagem B age como um pino. "13.42. 13.12c, com Considere ambas as uma extremidades coluna ideal engastadas. como Mostre a da Figura carga crítica sobre a coluna é dada por P,, = 47T2EI!U. que a Dica: Devido à to constante deflexão vertical do topo da coluna, um momen M' será desenvolvido nos apoios. Mostre que d2v/dxP!El)v = M'IEI. A solução é da forma v = sen(YP/EIJ + C1 C 2 cos(VPiR() + M'!P. Problema 13.42 B mm *13.43. 13.12d, com Considere uma extremidade uma coluna engastada ideal como e a outra a da presa Figura pinos. Mostre que a carga crítica sobre a coluna é dada por por P = 20,19EI!U. Dica: devido à cÍuna, um momento constante deflexão vertical no topo da M' engastado e forças horizontais de será reação desenvolvido no apoio R' vidas em ambos os apoios. Mostre que serão desenvol cf2v!dx2 + (!!.@.v = (R' lEI)(. A solução é da forma v = C1sen(YP/EIJ + C2cos(YPIEI) + (R'IP)(L- x). ções de contorno, mostre que tg( ós PIEI a aplicação L) = das condi \fPiii solva por tentativa e erro para a menor raiz. L. Re 13.44. A coluna está apoiada em B mite rotação, mas sim deflexão vertical. e esse Determine apoio não a carga per crítica P . EI é constante. cr 1---- L ---1 A Pmblema 13.44 13.45. A coluna ideal está sujeita à força F médio e em seu ponto à carga axial P. coluna no meio do vão. EI Determine é constante. o momento máximo da Dica: diferencial para deflexão (Equação 13.1). Defina a equação A solução geral é v = A sen kx + B cos kx - c2xlk2, onde c2 = F/2EI, k2 =PIEI. 0, r ---------- JL_ 1---- !:_ ---1-- !:_ ----1 2 2 Px·oblema 13.45 13.46. A coluna ideal tem peso w (força/comprimento) e ga permanece axial na posição horizontal quando sujeita a uma car P. do vão da coluna. Determine EI é constante. o momento máximo no ponto médio Dica: rencial para deflexão (Equação 13.1 ), com defina a origem a equação no ponto dife médio do vão. A solução geral é v = A sen kx + B cos kx + (w/(2P))x2-(wL/(2P))x-(wEI/P2) onde k2 =PIEI. B JZUllii!Ul w 1
FLAMBAGEM DE COLUNAS 493 (a) t M' = Pe .---r=-- v L (c) X Figura 13.15 \ f\ w · 1/ .J I p I X (b) Para avaliar as constantes, temos de aplicar as condições de contorno. Em X = O, v = O, portanto c2 = e. Em x = L, v = O, resulta e[1 - cos(VP[iii L)] cl = -------===---=c----- senCIPjifJ L) Visto que 1-cos(vPjEiL) =2 sen2(VPjEiL/2) e sen(VP[iii L) =2 sen(VPJEi L/2) cos (VijEi L/2), temos I Observe que, se e tender a zero, então v máx tende a zero. Todavia, se os termos entre colchetes tenderem a infinito quando e tender a zero, então v m a . x terá um valor não nulo. Em termos matemáticos, isso representaria o comportamento de uma coluna com carga axial no momento da falha quando sujeita à carga crítica Per" Portanto, para determinar Per' é preciso que sec ( '-/Eil jP;; ) L = oo Jij = ; 7r2EI Per = -- 2 - L (13.17) que é o mesmo resultado obtido com a fórmula de Euler (Equação 13.5). Se representarmos a Equação 13.16 em gráfico como a carga P em relação à deflexão vmáx para vários valores de excentricidade e, o resultado será a família de curvas cinza mostradas na Figura 13.16. Aqui a carga crítica torna-se uma assíntota às curvas e, é claro, representa o caso irreal de uma coluna ideal (e = 0). Como já dissemos, e nunca é igual a zero devido às imperfeições na retidão inicial da coluna e na aplicação da carga; todavia, à medida que e O, as curvas tendem a aproximar-se do caso ideal. Além disso, essas são adequadas somente para pequenas deflexões, visto que a curvatura foi aproximada por d2v/dx2, quando desenvolvemos a Equação 13.16. Se tivéssemos realizado uma análise mais exata, todas essas curvas tenderiam a curvar-se para cima interceptando e, em seguida, ultrapassando a reta P = Per" É claro que isso indica que é necessária uma carga P maior para criar deflexões maiores na coluna. Entretanto, não consideramos essa análise aqui, visto que na maioria das vezes o próprio projeto de engenharia restringe a deflexão de colunas a pequenos valores. Por consequência, a curva de deflexão (Equação 13.14) pode ser expressa como (13.15) Deflexão máxima. Devido à simetria da carga, ambas, deflexão máxima e tensão máxima, ocorrem no ponto médio da coluna. Portanto, quando x = L/2, v = v máx e, por isso, v . max = e[sec( fP L ) _ 1] \j ]jj 2 (13.16) p rr1P é alcançado e = 0 Coluna ideal (pequenas deflexões) Comportamento inelástico L--- Vmáx Figura 13.16
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FLAMBAGEM DE COLUNAS 493<br />
(a)<br />
t M' = Pe<br />
.---r=-- v<br />
L<br />
(c)<br />
X<br />
Figura 13.15<br />
\<br />
f\<br />
w<br />
· 1/<br />
.J<br />
I<br />
p<br />
I<br />
X<br />
(b)<br />
Para avaliar as constantes, temos de aplicar as condições<br />
de contorno. Em X = O, v = O, portanto c2 = e.<br />
Em x = L, v = O, resulta<br />
e[1 - cos(VP[iii L)]<br />
cl = -------===---=c-----<br />
senCIPjifJ L)<br />
Visto que 1-cos(vPjEiL) =2 sen2(VPjEiL/2) e<br />
sen(VP[iii L) =2 sen(VPJEi L/2) cos (VijEi L/2),<br />
temos<br />
I<br />
Observe que, se e tender a zero, então v máx tende a zero.<br />
Todavia, se os termos entre colchetes tenderem a infinito<br />
quando e tender a zero, então v m a . x terá um valor<br />
não nulo. Em termos matemáticos, isso representaria<br />
o comportamento de uma coluna com carga axial no<br />
momento da falha quando sujeita à carga crítica Per"<br />
Portanto, para determinar Per' é preciso que<br />
sec<br />
(<br />
'-/Eil jP;; )<br />
L = oo<br />
Jij = ;<br />
7r2EI<br />
Per = -- 2<br />
-<br />
L<br />
(13.17)<br />
que é o mesmo resultado obtido com a fórmula de Euler<br />
(Equação 13.5).<br />
Se representarmos a Equação 13.16 em gráfico<br />
como a carga P em relação à deflexão vmáx para vários<br />
valores de excentricidade e, o resultado será a família<br />
de curvas cinza mostradas na Figura 13.16. Aqui a carga<br />
crítica torna-se uma assíntota às curvas e, é claro, representa<br />
o caso irreal de uma coluna ideal (e = 0). Como<br />
já dissemos, e nunca é igual a zero devido às imperfeições<br />
na retidão inicial da coluna e na aplicação da<br />
carga; todavia, à m<strong>ed</strong>ida que e O, as curvas tendem a<br />
aproximar-se do caso ideal. Além disso, essas são adequadas<br />
somente para pequenas deflexões, visto que a<br />
curvatura foi aproximada por d2v/dx2, quando desenvolvemos<br />
a Equação 13.16. Se tivéssemos realizado<br />
uma análise mais exata, todas essas curvas tenderiam<br />
a curvar-se para cima interceptando e, em seguida, ultrapassando<br />
a reta P = Per" É claro que isso indica que<br />
é necessária uma carga P maior para criar deflexões<br />
maiores na coluna. Entretanto, não consideramos essa<br />
análise aqui, visto que na maioria das vezes o próprio<br />
projeto de engenharia restringe a deflexão de colunas<br />
a pequenos valores.<br />
Por consequência, a curva de deflexão (Equação<br />
13.14) pode ser expressa como<br />
(13.15)<br />
Deflexão máxima. Devido à simetria da carga,<br />
ambas, deflexão máxima e tensão máxima, ocorrem no<br />
ponto médio da coluna. Portanto, quando x = L/2, v =<br />
v máx e, por isso,<br />
v .<br />
max<br />
= e[sec( fP L )<br />
_<br />
1]<br />
\j ]jj 2<br />
(13.16)<br />
p<br />
rr1P é alcançado<br />
e = 0 Coluna ideal<br />
(pequenas<br />
deflexões)<br />
Comportamento<br />
inelástico<br />
L--- Vmáx<br />
Figura 13.16