Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

480 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de
segunda ordem com coeficientes constantes. Podemos
mostrar, pelo método das equações diferenciais ou
por substituição direta na Equação 13.2, que a solução
geral é
As duas constantes de integração são determinadas
pelas condições de contorno nas extremidades da
coluna. Visto que v = o em X = O, então c2 = O. E,
considerando v = O em x = L,
Essa equação é satisfeita se C1 = O; porém, v = O, o
que é uma solução trivial que exige que a coluna permaneça
sempre reta, ainda que a carga faça com que a
coluna torne-se instável. A outra possibilidade é
que é satisfeita se
ou
n21r2EI
P =
L2
L =mr
n = 1, 2, 3, ... (13.4)
O menor valor de P é obtido quando n = 1, de
modo que a carga crítica para a coluna é, portanto,
Essa carga às vezes é denominada carga de EuleT;
nome que se deve ao matemático suíço Leonhard
Euler que foi o primeiro a resolver esse problema em
1757. A forma flambada correspondente é definida
pela equação
1TJ
v = c1 sen L
Nessa expressão, a constante C1 representa a deflexão
máxima vrn áx ' que ocorre no ponto médio da coluna
(Figura 13.5c.) Não é possível obter valores específicos
para Cl' uma vez que a forma defletida exata da coluna
é desconhecida após a flambagem. Porém, consideramos
que essa deflexão seja pequena.
Entenda que n na Equação 13.4 representa o número
de ondas na forma defletida da coluna. Por exemplo,
se n = 2, então, pelas equações 13.3 e 13.4, aparecerão
duas ondas na forma flambada (Figura 13.5c), e a coluna
suportará uma carga crítica de 4Pc, imediatamente
antes da flambagem. Visto que esse valor é quatro
vezes a carga crítica e a forma defletida é instável, na
prática, essa forma de flambagem não existirá.
Como ocorreu com o mecanismo de duas barras
discutido na Seção 13.1, podemos representar as características
da deflexão provocada por uma carga na
coluna ideal pelo gráfico mostrado na Figura 13.6. O
ponto de bifurcação representa o estado de equilíbrio
neutro, ponto em que a carga crítica age sobre a coluna.
Aqui, a coluna está na iminência da flambagem.
Devemos observar que a carga crítica é independente
da resistência do material; mais exatamente, ela
depende somente das dimensões da coluna (I e L)
e da rigidez ou do módulo de elasticidade do material,
E. Por essa razão, no que diz respeito à flambagem
elástica, colunas feitas, por exemplo, de aço de
alta resistência, não oferecem nenhuma vantagem
em relação às feitas de aço de resistência mais baixa,
uma vez que o módulo de elasticidade para ambos
os materiais é aproximadamente o mesmo. Observe
também que a capacidade de carga de uma coluna
aumentará à medida que o momento de inércia da
seção transversal aumentar. Assim, colunas eficientes
são projetadas de modo que a maior parte da área da
seção transversal da coluna esteja localizada o mais
longe possível dos eixos principais do centroide da
seção. É por isso que as seções ocas como tubos são
mais eficientes do que as maciças. Além do mais, as
seções de abas largas e colunas 'construídas' com perfis
em U, cantoneiras, placas etc. são melhores do que
as maciças e retangulares.
\ Equilíbrio
instável
Equilíbrio_)
neutro
Equilíbrio
estável
,
p
/Ponto de bifurcação
7r2EI
f L '
-----"'--'-----'------- v
o
Figura 13.6