Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)
• 478 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS p (a) L 2 _l F Figura 13.2 nesse caso, o mecanismo estaria em equilíbrio instável. Em outras palavras, se essa carga P for aplicada e ocorrer um leve deslocamento em A, o mecanismo tenderá a sair do equilíbrio e não retornar a sua posição original. O valor intermediário de P, definido pelo requisito k8L/2 = 2P8, é a carga crítica. Aqui, kL P cr = 4 p (b) equilíbrio neutro Essa carga representa um caso de mecanismo que está em equilíbrio neutro. Como Per é independente do (pequeno) deslocamento 8 das barras, qualquer leve perturbação aplicada ao mecanismo não fará com que ele se afaste mais do equilíbrio, nem que retorne a sua posição original. Em vez disso, as barras permanecerão na posição defletida. Esses três estados de equilíbrio são representados graficamente na Figura 13.3. O ponto de transição onde a carga é igual ao valor crítico P = Per é denominado ponto de bifurcação. Nesse ponto o mecanismo estará em equilíbrio para qualquer valor pequeno de 8 medido para a direita ou para a esquerda da vertical. Em termos físicos, Per representa a carga sob a qual o mecanismo está na iminência de sofrer flambagem. p l instável Equilíbrio i neutro Equilíbrio ____J . . T 1 estáve1 cr Equilíbrio 0onto de bifurcação p = kL ---- ----- ------------·e o Figma 13.3 É bastante válido determinar esse valor considerando pequenos deslocamentos como fizemos aqui; contudo, é preciso entender que Per pode não ser o maior valor de P que o mecanismo pode suportar. De fato, se uma carga maior for colocada nas barras, pode ser que o mecanismo tenha de sofrer uma deflexão adicional antes que a mola seja comprimida ou alongada o suficiente para manter o mecanismo em equilíbrio. Assim como ocorre com o mecanismo de duas barras que acabamos de discutir, podemos obter as cargas de flambagem críticas para colunas suportadas de vários modos, e o método usado para fazer isso será explicado na próxima seção. Embora no projeto de engenharia a carga crítica possa ser considerada como a maior carga que a coluna pode suportar, entenda que, assim como no mecanismo de duas barras, se uma coluna estiver em posição fletida ou flambada, ela poderá suportar uma carga maior ainda do que Per· Entretanto, infelizmente, essa carga pode exigir que a coluna sofra uma grande deflexão que, em geral, não é tolerada em estruturas de engenharia ou máquinas. Por exemplo, pode ser que apenas alguns newtons de força bastem para provocar flambagem em uma barra de medição, mas a carga adicional que ela pode suportar só pode ser aplicada após ela ter sofrido uma deflexão lateral relativamente grande. 13.2 Coluna idea l com apoios de pinos Nesta seção, determinaremos a carga crítica de flambagem para uma coluna suportada por pinos, como mostra a Figura 13.4a. A coluna a ser considerada é uma coluna ideal, o que significa uma coluna perfeitamente reta antes da carga, feita de material homogêneo e na qual a carga é aplicada no centroide da seção transversal. Consideramos ainda que o material comporta-se de uma maneira linear elástica e que 4
p p --.----,----! v FLAMBAGEM DE COLUNAS 479 F L (a) (b) Figura 13.4 a coluna sofre flambagem ou flexão em um único plano. Na realidade, as condições de perfeita retidão da coluna e aplicação de carga nunca são cumpridas; todavia, a análise a ser realizada em uma 'coluna ideal' é semelhante à usada para analisar colunas inicialmente fletidas (tortas) ou sobre as quais são aplicadas cargas excêntricas. Esses casos mais realistas serão discutidos mais adiante neste capítulo. Visto que uma coluna ideal é reta, teoricamente a carga axial P poderia ser aumentada até ocorrer falha por ruptura ou escoamento do material. Contudo, quando a carga crítica P,, é atingida, a coluna está na iminência de tornar-se instável, de modo que uma pequena força lateral F (Figura 13.4b ), fará com que ela permaneça na posição defletida quando Ffor removida (Figura 13.4c). Qualquer ligeira redução na carga axial P em relação a P, fará com que a coluna endireite-se, e qualquer ligeiro aumento em P, que ultrapasse P,,, provocará aumentos adicionais na deflexão lateral. O fato de a coluna continuar estável ou tornar-se instável quando sujeita a uma carga axial dependerá de sua capacidade de restauração, que é baseada em sua resistência à flexão. Por consequência, para determinar a carga crítica e a forma da coluna quando flambada, aplicaremos a Equação 12.10 que relaciona o momento interno na coluna com sua forma defletida, isto é, (c) (13.1) Lembre-se de que essa equação considera que a inclinação da curva elástica seja pequena* e que as deflexões ocorrem somente por flexão. Quando a coluna está em posição defletida (Figura 13.5a), o momento fletor interno pode ser determinado pelo método das I i L p L tp I X n=l X (a) v Figura 13.5 L 2 (b) L p i }M P=4P,, 1 (c) n = 2 P = 4P,, seções. O diagrama de corpo livre de um segmento na posição defletida é mostrado na Figura 13.5b. Aqui, tanto a deflexão v quanto o momento interno M são mostrados na direção positiva, de acordo com a convenção de sinal usada para estabelecer a Equação 13.1. Somando momentos, o momento interno é M = -Pv. Assim, a Equação 13.1 torna-se ' Se tivermos de considerar grandes defiexões, deveremos usar a equação diferencial 12.4,EJ(d'v/dx2)/[l + (dvldx2)] '12 = M, que é mais precisa. (13.2)
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Figura 13.2<br />
nesse caso, o mecanismo estaria em equilíbrio instável.<br />
Em outras palavras, se essa carga P for aplicada<br />
e ocorrer um leve deslocamento em A, o mecanismo<br />
tenderá a sair do equilíbrio e não retornar a sua posição<br />
original.<br />
O valor interm<strong>ed</strong>iário de P, definido pelo requisito<br />
k8L/2 = 2P8, é a carga crítica. Aqui,<br />
kL P cr = 4<br />
p<br />
(b)<br />
equilíbrio neutro<br />
Essa carga representa um caso de mecanismo que<br />
está em equilíbrio neutro. Como Per é independente do<br />
(pequeno) deslocamento 8 das barras, qualquer leve<br />
perturbação aplicada ao mecanismo não fará com que<br />
ele se afaste mais do equilíbrio, nem que retorne a sua<br />
posição original. Em vez disso, as barras permanecerão<br />
na posição defletida.<br />
Esses três estados de equilíbrio são representados<br />
graficamente na Figura 13.3. O ponto de transição<br />
onde a carga é igual ao valor crítico P = Per é denominado<br />
ponto de bifurcação. Nesse ponto o mecanismo<br />
estará em equilíbrio para qualquer valor pequeno de 8<br />
m<strong>ed</strong>ido para a direita ou para a esquerda da vertical.<br />
Em termos físicos, Per representa a carga sob a qual<br />
o mecanismo está na iminência de sofrer flambagem.<br />
p<br />
l instável<br />
Equilíbrio<br />
i<br />
neutro<br />
Equilíbrio ____J . .<br />
T 1<br />
estáve1<br />
cr<br />
Equilíbrio<br />
0onto de bifurcação<br />
p<br />
= kL<br />
----<br />
----- ------------·e<br />
o<br />
Figma 13.3<br />
É bastante válido determinar esse valor considerando<br />
pequenos deslocamentos como fizemos aqui; contudo,<br />
é preciso entender que Per pode não ser o maior valor<br />
de P que o mecanismo pode suportar. De fato, se<br />
uma carga maior for colocada nas barras, pode ser que<br />
o mecanismo tenha de sofrer uma deflexão adicional<br />
antes que a mola seja comprimida ou alongada o suficiente<br />
para manter o mecanismo em equilíbrio.<br />
Assim como ocorre com o mecanismo de duas barras<br />
que acabamos de discutir, podemos obter as cargas<br />
de flambagem críticas para colunas suportadas de<br />
vários modos, e o método usado para fazer isso será<br />
explicado na próxima seção. Embora no projeto de engenharia<br />
a carga crítica possa ser considerada como a<br />
maior carga que a coluna pode suportar, entenda que,<br />
assim como no mecanismo de duas barras, se uma coluna<br />
estiver em posição fletida ou flambada, ela poderá<br />
suportar uma carga maior ainda do que Per· Entretanto,<br />
infelizmente, essa carga pode exigir que a coluna sofra<br />
uma grande deflexão que, em geral, não é tolerada em<br />
estruturas de engenharia ou máquinas. Por exemplo,<br />
pode ser que apenas alguns newtons de força bastem<br />
para provocar flambagem em uma barra de m<strong>ed</strong>ição,<br />
mas a carga adicional que ela pode suportar só pode<br />
ser aplicada após ela ter sofrido uma deflexão lateral<br />
relativamente grande.<br />
13.2 Coluna idea l com apoios<br />
de pinos<br />
Nesta seção, determinaremos a carga crítica de<br />
flambagem para uma coluna suportada por pinos,<br />
como mostra a Figura 13.4a. A coluna a ser considerada<br />
é uma coluna ideal, o que significa uma coluna<br />
perfeitamente reta antes da carga, feita de material<br />
homogêneo e na qual a carga é aplicada no centroide<br />
da seção transversal. Consideramos ainda que o material<br />
comporta-se de uma maneira linear elástica e que<br />
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