Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)
458 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS pl p2 A i''++ ! ! ! ID ++R\ . .j i) 1:/ B (a) c p3 IV =:fllllllllllll ----------------------IB lA • '-x---1 ---------- L ---- (a) IV PI p 2 p3 ·r t ! ! I Ay t t t By (b) Figura 12.34 Podemos determinar essas reações redundantes pelas condições de geometria conhecidas como condições de compatibilidade. Uma vez determinadas, as reações redundantes são aplicadas à viga e as reações restantes são determinadas pelas equações de equilíbrio. Nas seções seguintes, ilustraremos esse procedimento como solução, utilizando o método da integração (Seção 12.7), o método dos momentos de área (Seção 12.8) e o método da superposição (Seção 2.9). 12.7 Vigas e eixos estaticamente Cy Dy indeterminados - método da integração O método da integração, discutido na Seção 12.2, requer duas integrações da equação diferencial d 2 vldx 2 = MIEI, visto que o momento interno M na viga é expresso em função da posição x. Entretanto, se a viga for estaticamente indeterminada, M também pode ser expresso em termos das reações redundantes desconhecidas. Após integrar essa equação duas vezes, haverá duas constantes de integração e as reações redundantes para determinar. Embora seja esse o caso, essas incógnitas sempre podem ser determinadas pelas condições de contorno e/ou condições de continuidade para o problema. Por exemplo, a viga na Figura 12.35a tem uma reação redundante. Ela pode ser AY, MA ou B Y (Figura 12.35b ). Uma vez escolhida, o momento interno M pode ser escrito em termos da reação redundante e, integrando a relação momento/deslocamento, podemos determinar as duas constantes de integração e a reação redundante pelas três condições v = O em x = O, dvldx = O em x = O e v = O em x = L. Os seguintes exemplos ilustram as aplicações específicas desse método utilizando o procedimento para análise descrito na Seção 12.2. (b) Figura 12.35 A viga está sujeita à carga distribuída mostrada na Figura 12.36a. Determine as reações em A. EI é constante. SOLUÇÃO Linha elástica. A viga sofre deflexão como mostra a Figura 12.36a. Somente uma coordenada x é necessária. Por conveniência, consideraremos orientada para a direita, visto que o momento interno é fácil de formular. Função do momento fletor. A viga é indeterminada de primeiro grau como indicado pelo diagrama de corpo livre (Figura 12.36b ). Podemos expressar o momento interno M L - (a) Figura 12.36
DEFLEXÃO EM VIGAS E EIXOS 459 em termos da força redundante em A utilizando o segmento mostrado na Figura 12.36c.Aqui Inclinação e linha elástica. Aplicando a Equação 12.10, temos A IV I I I I I I I I I I t L --- (a) wL V J wL wL _ V _ '· t _::_-=::=====.::d ______ M L L - Ṁil I A - .. t-------------- --------------- ,tB .· B - 2 ---1 A - f--- 2 2 M I B = M (b) As três incógnitas Av, C1 e C2 são determinadas pelas condições de contorno t = O, v = O; x = L, dvldx v = O. = O ex = L, Aplicando essas condições obtemos X= O, v= O; O= O-O+ O+ C 2 dv x =L-= ' o· dx ' o= 2AyL2 1 - 1 24 WoL3 + cl X= L, v= O; O= .!_A L3 1 4 , 6 y 120 w oL + ClL + Cz Resolvendo, Resposta OBSERVAÇÃO: Utilizando o resultado para AY, as reações em B podem ser determinadas pelas equações de equilíbrio (Figura 12.36b). Mostre que B, = O, BY = 2w0L/5 e MB = w0U/15. A viga na Figura 12.37a está engastada em ambas as extremidades e sujeita à carga uniforme mostrada na figura. Determine as reações nos apoios. Despreze o efeito da carga axial. SOLUÇÃO linha elástica. A viga sofre deflexão como mostra a Figura 12.37a. Como no problema anterior, somente uma coordenada x é necessáría para a solução, visto que a carga é contínua em todo o vão. Função do momento fletor. Pelo diagrama de corpo livre (Figura 12.37b ), as respectivas reações de cisalhamento e momento em A e B devem ser iguais, visto que há simetria wL \\t 1-1 M 't!ç (c) Figura 12.37 de carga e também de geometria. Por isso, a equação de equilíbrio, lFY = O, exige Resposta A viga é indeterminada de primeiro grau, onde M1 é redundante. Utilizando o segmento da viga mostrado na Figura 12.37c, o momento interno M pode ser expresso em termos de M1 da seguinte maneira: wL w M = -x - -x2 - M1 2 Inclinação e linha elástica. Aplicando a Equação 12.10, temos EI- = -x d2v wL - w 2 1 dx 2 2 2 -x - M wL w M1 Eiv = -x3 - -x4 - -x2 +C x 12 24 2 1 2 +C As três incógnitas, M1, C1 e C2 podem ser determinadas pelas três condições de contorno v= O em x =O, que produz C2 = O; dvldx = o em X = O, que produz cl = O; e v = o X = L, que produz M' Resposta Utilizando esses resultados, observe que, devido à simetria, a condição de contorno restante dv!dx = O em x = L é automaticamente satisfeita.
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DEFLEXÃO EM VIGAS E EIXOS 459<br />
em termos da força r<strong>ed</strong>undante em A utilizando o segmento<br />
mostrado na Figura 12.36c.Aqui<br />
Inclinação e linha elástica. Aplicando a Equação 12.10,<br />
temos<br />
A<br />
IV<br />
I I I I I I I I I I t<br />
L ---<br />
(a)<br />
wL<br />
V<br />
J wL wL<br />
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V _<br />
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______<br />
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A - <br />
.. t-------------- ---------------<br />
,tB<br />
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B<br />
-<br />
2<br />
---1 A - f--- 2 2 M<br />
I<br />
B = M<br />
(b)<br />
As três incógnitas Av, C1 e C2 são determinadas pelas condições<br />
de contorno t = O, v = O; x = L, dvldx<br />
v = O.<br />
= O ex = L,<br />
Aplicando essas condições obtemos<br />
X= O, v= O; O= O-O+ O+ C 2<br />
dv<br />
x =L-=<br />
'<br />
o·<br />
dx<br />
' o= 2AyL2<br />
1<br />
-<br />
1<br />
24<br />
WoL3 + cl<br />
X= L, v= O; O= .!_A L3 1 4 ,<br />
6 y 120 w oL + ClL + Cz<br />
<br />
Resolvendo,<br />
Resposta<br />
OBSERVAÇÃO: Utilizando o resultado para AY, as reações<br />
em B podem ser determinadas pelas equações de equilíbrio<br />
(Figura 12.36b). Mostre que B, = O, BY = 2w0L/5 e<br />
MB = w0U/15.<br />
A viga na Figura 12.37a está engastada em ambas as extremidades<br />
e sujeita à carga uniforme mostrada na figura. Determine<br />
as reações nos apoios. Despreze o efeito da carga<br />
axial.<br />
SOLUÇÃO<br />
linha elástica. A viga sofre deflexão como mostra a Figura<br />
12.37a. Como no problema anterior, somente uma coordenada<br />
x é necessáría para a solução, visto que a carga é<br />
contínua em todo o vão.<br />
Função do momento fletor. Pelo diagrama de corpo livre<br />
(Figura 12.37b ), as respectivas reações de cisalhamento<br />
e momento em A e B devem ser iguais, visto que há simetria<br />
wL \\t 1-1<br />
M 't!ç<br />
(c)<br />
Figura 12.37<br />
de carga e também de geometria. Por isso, a equação de equilíbrio,<br />
lFY = O, exige<br />
Resposta<br />
A viga é indeterminada de primeiro grau, onde M1 é r<strong>ed</strong>undante.<br />
Utilizando o segmento da viga mostrado na Figura<br />
12.37c, o momento interno M pode ser expresso em termos<br />
de M1 da seguinte maneira:<br />
wL w<br />
M = -x - -x2 - <br />
M1<br />
2<br />
Inclinação e linha elástica. Aplicando a Equação 12.10,<br />
temos<br />
EI- = -x<br />
d2v wL<br />
-<br />
w<br />
2 1<br />
dx 2 2<br />
2 <br />
-x - M<br />
wL w M1<br />
Eiv = -x3 - -x4 - -x2 +C x<br />
<br />
12 24 2<br />
1 2<br />
+C<br />
As três incógnitas, M1, C1 e C2 podem ser determinadas pelas<br />
três condições de contorno v= O em x =O, que produz C2 = O;<br />
dvldx = o em X = O, que produz cl = O; e v = o X = L, que<br />
produz<br />
M'<br />
Resposta<br />
Utilizando esses resultados, observe que, devido à simetria,<br />
a condição de contorno restante dv!dx = O em x = L é automaticamente<br />
satisfeita.