Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)
442 RESISTÊICI.A DOS MATERIAIS 12.50. Determine a equação da linha elástica. Especifique a inclinação em A. EI é constante. 12.51. Determine a equação da linha elástica. Especifique a deflexão em C. EI é constante. '12.52. Determine a equação da linha elástica. Especifique a inclinação em B. EI é constante. IV tg B Linha elástica (a) tgA Problemas 12.50/51/52 12.53. O eixo é feito de aço e tem diâmetro de 15 mm. Determine sua deflexão máxima. Os mancais em A e B exercem somente reações verticais sobre o eixo. E aço = 200 GPa. M (b) Problema 12.53 *1 2 e deslocamento M EI I A M ( El I -dx -M D 1agrama . EI (c) Figura 12.21 B X área O método dos momentos de área proporciona uma técnica parcialmente gráfica para determinar a inclinação e o deslocamento em pontos específicos sobre a linha elástica de uma viga ou eixo. A aplicação do método exige o cálculo de áreas associadas ao diagrama de momento da viga; portanto, se esse diagrama consistir em formas simples, o método é muito conveniente de usar. Normalmente é esse o caso quando a viga é carregada com forças concentradas e momentos conjugados. Para desenvolver o método dos momentos de área, adotaremos as mesmas premissas que usamos para o método da integração: a viga é inicialmente reta, é deformada elasticamente por ação das cargas de modo tal que a inclinação e a deflexão da linha elástica são muito pequenas e as deformações são causadas por flexão. O método dos momentos de área baseia-se em dois teoremas usados para determinar a inclinação e o deslocamento em um ponto sobre a linha elástica. Teorema 1 . Considere a viga simplesmente apoiada com sua linha elástica associada Figura 12.21a. Um segmento diferencial dx da viga é isolado na Figura 12.21b. Vemos que o momento interno M da viga deforma o elemento de modo tal que as tangentes à linha elástica em cada lado do elemento interceptam-se em um ângulo d(). Esse ângulo pode ser determinado pela Equação 12.10, escrita como d2v d (dv) EI - = EI - - = M dx2 dx dx Visto que a inclinação é pequena, () = dv!dx e, portanto, (12.18) Se construirmos o diagrama de momento fletor para a viga e o dividirmos pelo momento de inércia I e pelo módulo de elasticidade E da viga (Figura 12.21c), então a Equação 12.18 indica que de é igual à área sob
DEFLEXÃO EM VIGAS E EIXOS 443 o 'diagrama MIEI' para o segmento de viga dx. Integrando entre um ponto A e outro ponto B selecionados sobre a linha elástica, temos (12.19) Essa equação configura a base para o primeiro teorema de momentos de área. O ângulo entre as tangentes em dois pontos quaisquer sobre a linha elástica é igual à área sob o diagrama MIEI entre esses dois pontos. A notação e E IA é denominada ângulo da tangente em B medido em relação à tangente em A. Pela prova, deve ficar evidente que esse ângulo será medido em sentido anti-horário, da tangente A até a tangente B, se a área sob o diagrama MIE/ for positiva. Ao contrário, se a área for negativa, ou encontrar-se abaixo do eixo x, o ângulo e ElA será medido em sentido horário, da tangente A até a tangente B. Além disso, pelas dimensões da Equação 12.19, e El A será medido em radianos. Teorema 2. O segundo teorema dos momentos de área baseia-se no desvio das tangentes em relação à linha elástica. A Figura 12.22a mostra uma vista muitíssimo ampliada do desvio vertical dt das tangentes de cada lado do elemento diferencial dx. Esse desvio é provocado pela curvatura do elemento e foi medido ao longo de uma reta vertical que passa pelo ponto A localizado sobre a linha elástica. Visto que consideramos que a inclinação da linha elástica e sua deflexão são muito pequenas, é razoável aproximar o comprimento de cada reta tangente por x e o arco ds' por dt. Utilizando a fórmula do arco de círculo s = er, onde r é o comprimento x e s é dt, podemos escrever dt = xde. Substituindo a Equação 12.18 nessa equação e integrando de A a B, o desvio vertical da tangente em A em relação à tangente em B pode ser determinado; isto é, (12.20) Visto que o centroide de uma área é determinado por xf dA = Ix dA e f(MIEI)dx representa a área sob o diagrama MI E!, também podemos escrever (12.21) Nessa expressão, x é a distância de A até o centroide da área sob o diagrama MI E! entre A e B (Figura 12.22b ). Agora, o segundo teorema dos momentos de área pode ser enunciado da seguinte maneira: O desvio vertical da tangente em um ponto (A) sobre a linha elástica em relação à tangente traçada desde outro ponto (B) é igual ao momento da área sob o diagrama MIEI entre esses dois pontos (A e B). Esse momento é calculado em torno do ponto (A) onde o desvio vertical deve ser determinado. A distância tAlE usada no teorema também pode ser interpretada como o deslocamento vertical desde o ponto localizado na tangente traçada do ponto B ao ponto A sobre a linha elástica. Observe que t AlE não é igual a t ElA ' o que é mostrado na Figura 12.22c. Especificamente, o momento da área sob o diagrama MIEI entre A e B é calculado em torno do ponto A para determinar tAlE (Figura 12.22b ), e em torno do ponto B (Figura 12.22c). para determinar t E IA Se determinarmos o momento de uma área MI E! positiva de A a B para t EIA ' ele indica que o ponto B está acima da tangente traçada desde o ponto A (Figura 12.22a.) De maneira semelhante, áreas MI E! negativas indicam que o ponto B está abaixo da tangente traçada desde o ponto A. Essa mesma regra aplica-se para tAlE" _o_tg fA-x dx B tA;E tgB M EI r k'"---- -- M EI I . (a) A i ___._ E :----->--- A tgB , B (b) , tgA A ----l- (c) L x' 1 Figura 12.22 .. -------- x E x
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12.50. Determine a equação da linha elástica. Especifique a<br />
inclinação em A. EI é constante.<br />
12.51. Determine a equação da linha elástica. Especifique a<br />
deflexão em C. EI é constante.<br />
'12.52. Determine a equação da linha elástica. Especifique<br />
a inclinação em B. EI é constante.<br />
IV<br />
tg B<br />
Linha elástica<br />
(a)<br />
tgA<br />
Problemas 12.50/51/52<br />
12.53. O eixo é feito de aço e tem diâmetro de 15 mm. Determine<br />
sua deflexão máxima. Os mancais em A e B exercem<br />
somente reações verticais sobre o eixo. E aço = 200 GPa.<br />
M<br />
(b)<br />
Problema 12.53<br />
*1 2 e deslocamento<br />
M<br />
EI<br />
I<br />
A<br />
M<br />
( El<br />
I<br />
-dx<br />
-M D 1agrama .<br />
EI<br />
(c)<br />
Figura 12.21<br />
B<br />
X<br />
área<br />
O método dos momentos de área proporciona uma<br />
técnica parcialmente gráfica para determinar a inclinação<br />
e o deslocamento em pontos específicos sobre<br />
a linha elástica de uma viga ou eixo. A aplicação do<br />
método exige o cálculo de áreas associadas ao diagrama<br />
de momento da viga; portanto, se esse diagrama<br />
consistir em formas simples, o método é muito conveniente<br />
de usar. Normalmente é esse o caso quando a<br />
viga é carregada com forças concentradas e momentos<br />
conjugados.<br />
Para desenvolver o método dos momentos de área,<br />
adotaremos as mesmas premissas que usamos para o<br />
método da integração: a viga é inicialmente reta, é deformada<br />
elasticamente por ação das cargas de modo<br />
tal que a inclinação e a deflexão da linha elástica são<br />
muito pequenas e as deformações são causadas por<br />
flexão. O método dos momentos de área baseia-se em<br />
dois teoremas usados para determinar a inclinação e o<br />
deslocamento em um ponto sobre a linha elástica.<br />
Teorema 1 .<br />
Considere a viga simplesmente apoiada<br />
com sua linha elástica associada Figura 12.21a. Um<br />
segmento diferencial dx da viga é isolado na Figura<br />
12.21b. Vemos que o momento interno M da viga deforma<br />
o elemento de modo tal que as tangentes à linha<br />
elástica em cada lado do elemento interceptam-se em<br />
um ângulo d(). Esse ângulo pode ser determinado pela<br />
Equação 12.10, escrita como<br />
d2v d (dv)<br />
EI - = EI - - = M<br />
dx2 dx dx<br />
Visto que a inclinação é pequena, () = dv!dx e, portanto,<br />
(12.18)<br />
Se construirmos o diagrama de momento fletor<br />
para a viga e o dividirmos pelo momento de inércia I e<br />
pelo módulo de elasticidade E da viga (Figura 12.21c),<br />
então a Equação 12.18 indica que de é igual à área sob