Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

436 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
(x - a)" é escrita entre parênteses angulares para distingui-la
da função comum [x - a]", escrita entre parênteses
comuns. Como mostra a equação, somente quando
x 2: a, (x - a)" = (x - a)", caso contrário é nula. Além
disso, essas funções são válidas somente para valores exponenciais
n 2: O. A integração das funções de Macaulay
segue as mesmas regras das funções comuns, isto é,
J
(x - a;n+l
(x - a/11 dx =
n + 1
+ C
(12.12)
Observe agora como as funções de Macaulay descrevem
a carga uniforme w0(n = 0), bem como a carga
triangular (n = 1), mostradas na Tabela 12.2, itens 3 e
4. Esse tipo de descrição pode, é claro, ser estendido a
cargas distribuídas que tenham outras formas. Também
é possível usar superposição com as cargas uniformes e
triangulares para criar a função de Macaulay para uma
carga trapezoidal. Utilizando integração, as funções de
Macaulay para cisalhamento, V = -f w(x )dx, e momento,
M = IV dx, também são mostradas na tabela.
Essas funções são usadas
somente para descrever a localização do ponto de forças
concentradas ou momentos conjugados que agem sobre
uma viga ou eixo. Especificamente, uma força concentrada
P pode ser considerada como o caso especial de uma
carga distribuída no qual a intensidade da carga é w = PI E,
tal que sua largura é E , onde E O (Figura 12.15). A área
sob esse diagrama de carga é equivalente a P, positiva para
baixo, portanto utilizaremos a função de singularidade
w = P(x - a;-1 = {
para x i= a
para x = a (12.13)
I
"
11
Figura 12.15
11
P Mo
w=-=-
" E2
P Mo
IV = -=-
E E2
c
e
d
ti
e
n
cl
p
h
p
para descrever a força P. Observe que aqui n = -1, de
modo que as unidades para w são força por comprimento
como devem ser. Além do mais, a função assume
o valor, de P somente no ponto x = a onde a carga
ocorre, caso contrário é nula.
De maneira semelhante, um momento conjugado
M0, considerado positivo em sentido anti-horário, é
uma limitação quando E O de duas cargas distribuídas
como mostra a Figura 12.16. Aqui a seguinte função
descreve seu valor.
w = M0(x - a;-2 = {O
Mo
para x i= a
para x =a (12.14)
O expoente n = -2 é para assegurar que as unidades
de w, força por comprimento, sejam mantidas.
A integração das duas funções de singularidade
apresentadas segue as regras operacionais elo cálculo e
d, resultados diferentes dos das funções de Macaulay.
Especificamente,
Figura 12.16
J (x - a)11dx = (x - a)"+l, n = -1 , -2
(12.15)
Aqui, somente o expoente n aumenta uma unidade
e nenhuma constante de integração será associada
com essa operação. Ao utilizar essa fórmula, observe
como M0 e P, descritos na Tabela 12.2, itens 1 e 2, são
integrados uma vez e depois duas vezes, para se obterem
o cisalhamento interno e o momento na viga.
A aplicação das equações 12.11 a 12.15 proporciona
um meio bastante clireto de expressar a carga ou o momento
interno em de um viga em função de x. Quando
fizermos isso, devemos prestar muita atenção aos sinais
das cargas externas. Como afirmado anteriormente e
mostrado na Tabela 12.2, forças concentradas e cargas
distribuídas são positivas para baixo, e momentos conjugados
são positivos em sentido anti-horário. Se essa
e
e
t<
Sl
ti
)\
p
Cí
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