Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

DEFLEXÃO EM VIGAS E EIXOS 435
Funções de
descontinuidade
0 método da integração, usado para determinar a
equação da linha elástica para uma vga ou eixo, é conveniente
se a carga ou o momento mterno puder ser
expresso como uma função contínua por todo o comprimento
da viga. Entretanto, se várias cargas diferentes
agem sobre a viga, a aplicação do método torna-se
roais cansativa porque será preciso escrever funções
separadas de carga ou momento para cada região da
viga. Além disso, a integração dessas funções requer o
cálculo de constantes de integração utilizando-se condições
de contorno e/ou de continuidade. Por exemplo,
a viga mostrada na Figura 12.14 requer que sejam
escritas quatro funções de momento que o descrevem
nas regiões AB, BC, CD e DE. Quando aplicarmos
a relação momento/curvatura, EI d2vldx2 = M, e integrarmos
cada equação de momento duas vezes, teremos
de calcular oito constantes de integração. Esse
cálculo envolverá duas condições de contorno que exigem
deslocamento nulo nos pontos A e E e seis condições
de continuidade para a inclinação, bem como
para o deslocamento nos pontos B, C e D.
Mo
c
Figura 12.14
w
rrrnnE
_
D
_ji
Nesta seção, discutiremos um método para determinar
a equação da linha elástica para uma viga com
cargas múltiplas utilizando uma única expressão, ou formulada
em função da carga sobre a viga, w = w(x), ou
em função do momento interno da viga, M = M(x).
Se a expressão para w for substituída em EI d4v/dx4
= -w(x) e integrada quatro vezes, ou a expressão
para M for substituída em EI d2v/dx2 = M(x) e integrada
duas vezes, as constantes de integração serão
determinadas somente pelas condições de contorno.
Visto que as equações de continuidade não serão
envolvidas, a análise será muito simplificada.
Funções de descontinuidade. Para expressar
a carga sobre a viga ou o momento interno dentro
dela usando uma única expressão, utilizaremos dois tipos
de operadores matemáticos conhecidos como ftmções
de descontinuidade.
de
Para a finalidade de deflexão
em vigas ou eixos, podemos usar as funções de
Macaulay, nome do matemático W. H. Macaulay, para
descrever cargas distribuídas. Elas podem ser escritas,
na forma geral, como
(x - a)n = { O
(x - at
n ;o:: O
para x < a
para x ;::: a (12.11)
Aqui, x representa a coordenada da posição de um
ponto ao longo da viga, e a é o local na viga onde ocorre
'descontinuidade', a saber, o ponto onde uma carga
distribuída começa. Observe que a função de Macaulay
Carga
Função da carga
w= w(x)
Cisalhamento
Momento
V= -jw(x)dx M =fVdx
(1) Mo
\\\
. ,\
l
IV = M0 -z
V= -M0-1 M = -M0 0
(2) p
l
I
(3) IV o
mum
I
-;__.j
(4) Inclinação m
)r(l1
t=-
IV = P-1
w = w0 0
w = m1
V= -P 0 M= -P1
V= -IV01 M = - Wo z
2 '
V= -m 2
2
M = -n 3