Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)
424 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 1/ p = d2vldx2• Usando essa simplificação, agora a Equação 12.4 pode ser expressa como (12.5) Também é possível escrever essa equação de duas formas alternativas. Se diferenciarmos cada lado em relação a x e substituirmos V= dM!dx (Equação 6.2), obteremos d ( d2v) - EI- = V(x) dx dx2 (12.6) Se diferenciarmos mais uma vez, usando -w = dV!dx (Equação 6.1), obteremos (12.7) Na maioria dos problemas, a rigidez à flexão será constante ao longo do comprimento da viga. Considerando que seja esse o caso, os resultados que obtivemos serão reordenados no seguinte conjunto de equações: d4v EI dx 4 = -w(x) (12.8) d3v EI dx 3 = V(x) (12.9) d2v EI dx 2 = M(x) (12.10) A solução de qualquer dessas equações requer integrações sucessivas para obter a deflexão v da linha elástica. Para cada integração é necessário introduzir uma 'constante de integração' e então resolver para todas as constantes de modo a obter uma solução única para um problema particular. Por exemplo, se a carga distribuída for expressa em função de x e a Equação 12.8 for usada, teremos de avaliar quatro constantes de integração; contudo, se o momento fletor interno M for determinado e a Equação 12.10 for usada, teremos de determinar somente duas constantes de integração. A escolha da equação com a qual começar depende do problema. Entretanto, de modo geral é mais fácil determinar o momento interno M em função de x, integrar duas vezes e avaliar somente duas constantes de integração. Lembre-se de que na Seção 6.1 dissemos que se a carga sobre uma viga for descontínua, isto é, consistir em uma série de várias cargas distribuídas e concentradas, teremos de escrever várias funções para o momento interno, cada uma delas válida dentro da região entre A !'''\--------------' D · B C ···!:? (a) p HBHHf 1 IV HHHUl (b) (c) Figura 12.7 as descontinuidades. Além disso, por questão de conveniência ao escrever cada expressão de momento, a origem de cada coordenada x pode ser selecionada arbitrariamente. Por exemplo, considere a viga mostrada na Figura 12.7a. O momento interno nas regiões AB, BC e CD pode ser expresso em termos das coordenadas selecionadas xl'x 2 e x3, como mostra a Figura 12.7b ou 12.7c ou, na verdade, de qualquer maneira que resulte M = f(x) na forma mais simples possível. Uma vez integradas essas funções com a utilização da Equação 12.10 e das constantes de integração determinadas, as funções darão a inclinação e a deflexão (linha elástica) para cada região da viga para a qual são válidas. Convenção de sinais e coordenadas. p I v Quando aplicarmos as equações 12.8 a 12.10, é importante usar os sinais corretos para M, V ou w, como estabelecido pela convenção de sinais que foi usada na dedução dessas equações. A título de revisão, esses termos são mostrados em suas direções positivas na Figura 12.Sa. Além do mais, lembre-se de que a deflexão positiva, v, é para cima, e o resultado é que o ângulo de inclinação positiva f) será medido na direção anti-horária em relação ao eixo x, quando este for positivo para a direita. A razão disso é mostrada na Figura 12.8b. Nesse caso, os aumentos positivos dx e dv em x e v provocam um aumento em f) no sentido anti-horário. Por outro lado, se x positivo for orientado para a esquerda, então (} será positivo em sentido horário (Figura 12.8c).
DEFLEXÃO EM VIGAS E EIXOS 425 v +M +M +V +V Convenção de sinal positivo O' (a) Convenção de sinal positivo (b) O' Convenção de sinal positivo (c) Figura 12.8 Devemos salientar que, considerando dv/dx muito pequeno, o comprimento horizontal original do eixo da viga e o arco de sua linha elástica serão aproximadamente os mesmos. Em outras palavras, ds nas figuras 12.8b e 12.8c será aproximadamente igual a dx, visto que ds = V(dx)2 + (dv)2 = V1 + (dvldx) 2 dx = dx. O resultado é que consideramos que pontos sobre a linha elástica são deslocados no sentido vertical e não horizontal. Além disso, visto que o ângulo de inclinação e será muito pequeno, seu valor em radianos pode ser determinado diretamente por e= tg e = dv/dx. Condições de contorno e continuidade. As constantes de integração são determinadas pela avaliação das funções para cisalhamento, momento, inclinação ou deslocamento em um determinado ponto na viga no qual o valor da função é conhecido. Esses valores são denominados condições de contorno. A Tabela 12.1 apresenta várias condições de contorno possíveis utilizadas frequentemente para resolver problemas de v 1 2 3 4 5 6 ll =O M o Rolete Ll o M=O Pino ll=O Rolete ll = O Pino (! = 0 ll = O Extremidade fixa ?=== v o M = O Extremidade livre 7 M=O Pino ou articulação interna deflexão em uma viga (ou eixo). Por exemplo, se a viga estiver apoiada sobre um rolete ou um pino (1, 2, 3, 4), o deslocamento será nulo nesses pontos. Além disso, se esses apoios estiverem localizados nas extremidades da viga (1, 2), o momento fletor interno na viga também deve ser nulo. No caso do apoio fixo (5), a inclinação e o deslocamento são ambos nulos, ao passo que a viga de extremidades livres (6) tem momento e cisalhamento nulos. Por fim, se dois segmentos de uma viga estiverem ligados por um pino ou articulação 'interna' (7), o momento deve ser nulo nesse acoplamento. Se não for possível usar uma única coordenada x para expressar a equação para a inclinação ou para a linha elástica de uma viga, deve-se usar as condições de continuidade para calcular algumas das constantes de integração. Por exemplo, considere a viga na Figura 12.9a. Aqui ambas as coordenadas x escolhidas têm origem em A. Cada uma delas é válida somente dentro das regiões O :S x1 :S a e a s x 2 :S (a + b ). Uma vez obtidas as funções para a inclinação e a deflexão, elas
- Page 390 and 391: 3 7 4 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS di
- Page 392 and 393: 37 6 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ·
- Page 394 and 395: • 378 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
- Page 396 and 397: 380 RESISTNCIA DOS MATERIAIS + (a)
- Page 398 and 399: .. 382 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS d
- Page 400 and 401: 384 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS SOLU
- Page 402 and 403: 386 RESISTNCIA DOS MATERIAIS *10.52
- Page 404 and 405: 388 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS rial
- Page 406 and 407: 390 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS prin
- Page 408 and 409: 392 RESISTtNCIA DOS MATERIAIS (J 2
- Page 410 and 411: 394 RESISTl:NCIA DOS MATERIAIS O po
- Page 412 and 413: 396 RESISTtNCIA DOS MATERIAIS máxi
- Page 414 and 415: ... .. 398 RESISTÊNCIA DOS MATERIA
- Page 416 and 417: 400 RESISTNCIA DOS MATERIAIS 0 "'
- Page 418 and 419: 402 RESISTNCIA DOS MATERIAIS jeto p
- Page 420 and 421: 404 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Tens
- Page 422 and 423: 406 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Q =
- Page 424 and 425: 408 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 11.7
- Page 426 and 427: 41 0 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ter
- Page 428 and 429: 412 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS reta
- Page 430 and 431: 414 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS carg
- Page 432 and 433: .. 416 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 1
- Page 434 and 435: 418 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS cere
- Page 436 and 437: 420 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 300
- Page 438 and 439: 422 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS pl (
- Page 442 and 443: 426 RESISTNCIA DOS MATERIAIS (a) (b
- Page 444 and 445: 428 RESISTtNCIA DOS MATERIAIS EIdv
- Page 446 and 447: 430 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS dvl
- Page 448 and 449: 432 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS *12,
- Page 450 and 451: 434 RESISTNCIA DOS MATERIAIS *12.28
- Page 452 and 453: 436 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS (x -
- Page 454 and 455: 438 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS O se
- Page 456 and 457: • 440 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
- Page 458 and 459: 442 RESISTÊICI.A DOS MATERIAIS 12.
- Page 460 and 461: 444 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS O se
- Page 462 and 463: • 446 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
- Page 464 and 465: 448 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Teor
- Page 466 and 467: 450 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS A 0,
- Page 468 and 469: 452 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 25 k
- Page 470 and 471: 454 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 5kN/
- Page 472 and 473: 456 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 12.9
- Page 474 and 475: 458 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS pl p
- Page 476 and 477: 460 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS OBSE
- Page 478 and 479: 462 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 13 k
- Page 480 and 481: 464 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS p p
- Page 482 and 483: 466 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 12 V
- Page 484 and 485: 468 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS O se
- Page 486 and 487: 470 RESISTtNCIA DOS MATERIAIS 40 kN
- Page 488 and 489: 472 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 12.1
424 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS<br />
1/ p = d2vldx2• Usando essa simplificação, agora a Equação<br />
12.4 pode ser expressa como<br />
(12.5)<br />
Também é possível escrever essa equação de duas<br />
formas alternativas. Se diferenciarmos cada lado em<br />
relação a x e substituirmos V= dM!dx (Equação 6.2),<br />
obteremos<br />
d ( d2v)<br />
- EI- = V(x)<br />
dx dx2<br />
(12.6)<br />
Se diferenciarmos mais uma vez, usando -w = dV!dx<br />
(Equação 6.1), obteremos<br />
(12.7)<br />
Na maioria dos problemas, a rigidez à flexão será<br />
constante ao longo do comprimento da viga. Considerando<br />
que seja esse o caso, os resultados que obtivemos<br />
serão reordenados no seguinte conjunto de equações:<br />
d4v<br />
EI dx 4 = -w(x)<br />
(12.8)<br />
d3v<br />
EI dx 3 = V(x)<br />
(12.9)<br />
d2v<br />
EI dx 2 = M(x)<br />
(12.10)<br />
A solução de qualquer dessas equações requer integrações<br />
sucessivas para obter a deflexão v da linha<br />
elástica. Para cada integração é necessário introduzir<br />
uma 'constante de integração' e então resolver para<br />
todas as constantes de modo a obter uma solução única<br />
para um problema particular. Por exemplo, se a carga<br />
distribuída for expressa em função de x e a Equação<br />
12.8 for usada, teremos de avaliar quatro constantes<br />
de integração; contudo, se o momento fletor interno M<br />
for determinado e a Equação 12.10 for usada, teremos<br />
de determinar somente duas constantes de integração.<br />
A escolha da equação com a qual começar depende<br />
do problema. Entretanto, de modo geral é mais fácil<br />
determinar o momento interno M em função de x, integrar<br />
duas vezes e avaliar somente duas constantes de<br />
integração.<br />
Lembre-se de que na Seção 6.1 dissemos que se a<br />
carga sobre uma viga for descontínua, isto é, consistir<br />
em uma série de várias cargas distribuídas e concentradas,<br />
teremos de escrever várias funções para o momento<br />
interno, cada uma delas válida dentro da região entre<br />
A !'''\--------------' D<br />
· B C ···!:?<br />
(a)<br />
p<br />
HBHHf 1<br />
IV<br />
HHHUl<br />
(b)<br />
(c)<br />
Figura 12.7<br />
as descontinuidades. Além disso, por questão de conveniência<br />
ao escrever cada expressão de momento, a<br />
origem de cada coordenada x pode ser selecionada arbitrariamente.<br />
Por exemplo, considere a viga mostrada<br />
na Figura 12.7a. O momento interno nas regiões AB,<br />
BC e CD pode ser expresso em termos das coordenadas<br />
selecionadas xl'x 2<br />
e x3, como mostra a Figura 12.7b<br />
ou 12.7c ou, na verdade, de qualquer maneira que resulte<br />
M = f(x) na forma mais simples possível. Uma vez<br />
integradas essas funções com a utilização da Equação<br />
12.10 e das constantes de integração determinadas, as<br />
funções darão a inclinação e a deflexão (linha elástica)<br />
para cada região da viga para a qual são válidas.<br />
Convenção de sinais e coordenadas.<br />
p<br />
I<br />
v<br />
Quando<br />
aplicarmos as equações 12.8 a 12.10, é importante<br />
usar os sinais corretos para M, V ou w, como estabelecido<br />
pela convenção de sinais que foi usada na d<strong>ed</strong>ução<br />
dessas equações. A título de revisão, esses termos são<br />
mostrados em suas direções positivas na Figura 12.Sa.<br />
Além do mais, lembre-se de que a deflexão positiva, v,<br />
é para cima, e o resultado é que o ângulo de inclinação<br />
positiva f) será m<strong>ed</strong>ido na direção anti-horária em relação<br />
ao eixo x, quando este for positivo para a direita. A<br />
razão disso é mostrada na Figura 12.8b. Nesse caso, os<br />
aumentos positivos dx e dv em x e v provocam um aumento<br />
em f) no sentido anti-horário. Por outro lado, se<br />
x positivo for orientado para a esquerda, então (} será<br />
positivo em sentido horário (Figura 12.8c).