Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

DEFLEXÃO EM VIGAS E EIXOS 423
Quando o momento fletor interno M deforma o
da viga, o ângulo entre as seções transversais
J>tr.lll'-''"
nnm-,,v d8 (Figura 12.5b ). O arco dx representa uma
da linha elástica que intercepta o eixo neutro
cada seção transversal. O raio de curvatura para
arco é definido como a distância p, que é medida
centro de curvatura O' até dx. Qualquer arco sobre
elemento, exceto dx, está sujeito a uma deformação
c-'''"''" Por exemplo, a deformação no arco ds, localiem
uma posição y em relação ao eixo neutro, é
e""' (ds' ds)!ds. Todavia, ds = dx = pd8 e ds' = (p - - y )d8
Y )dO p d8]/p d8 ou
l.l , portanto, E = [ (p
-
1 E
p y
(12.1)
1 IJ
p Ey (12.3)
Ambas as equações, 12.2 e 12.3, são válidas para
raios de curvatura pequenos ou grandes. Todavia, o
valor calculado de p é quase sempre uma quantidade
muito grande. Por exemplo, considere uma viga de aço
A-36 construída com um perfil W360 x 70 (Apêndice
B), onde Ea ç
o = 200 GPa e IJ0 = 350 MPa. Quando o
material nas fibras externas, y = ±180 mm, está a ponto
de escom; então, pela Equação 12.3, p = 6.144 m.
Valores de p calculados em outros pontos ao longo da
curva da linha elástica da viga podem ser ainda maiores,
já que IJ não pode ser maior do que IJ nas fibras
e
externas.
Se o material for homogéneo e comportar-se de
uma maneira linear elástica, a lei de Hooke, E = IY! E,
é aplicável. Além disso, a fórmula da flexão também
se aplica, IJ = -My/1. Combinando essas equações e
substituindo na equação anterior, temos
expressa matematicamente como IJ = f(x). Para se ob-
(12.2) ter essa equação, em primeiro lugar temos de representar
a curvatura (11 p) em termos de v e x. A maioria
dos livros de cálculo mostra que essa relação é
onde
1 M
P E!
p = raio de curvatura em um ponto específico sobre
a curva da linha elástica (11 p é denominado
curvatura)
M = momento fletor interno na viga no ponto onde
p deve ser determinado
E = módulo de elasticidade do material
I = momento de inércia calculado em torno do
eixo neutro
O produto E! nessa equação é denominado rigidez
à flexão e sempre representa uma quantidade positiva.
Portanto, o sinal de p depende da direção do momento.
Como mostra a Figura 12.6, quando M é positivo, p
prolonga-se acima da viga, ou seja, na direção positiva
de v; quando M é negativo, p prolonga-se abaixo da
viga, na direção negativa de v.
A utilização da fórmula da flexão IJ = -My/1 também
nos permite expressar a curvatura em termos da
tensão na viga, a saber,
v
Figura 12.6
O'
1 2. 2
Inclinação e deslocamento
por integração
A curva da linha elástica para uma viga pode ser
1 d2vjdx2
P [1 + (dvjdx)2]312
Substituindo na Equação 12.2, obtemos
d2vjdx2
M
[1 + (dvjdx)2FI2 E!
(12.4)
Essa equação representa uma equação diferencial
não linear de segunda ordem. Sua solução, denominada
elástica, dá a forma exata da linha elástica considerando,
é claro, que as deflexões na viga ocorram
apenas por flexão. A utilização de matemática superior
nos fornece soluções da elástica apenas para casos sim-­
ples de geometria e carga de vigas.
Para facilitar a solução de um número maior de problemas
de deflexão, a Equação 12.4 pode ser modificada.
A maioria dos códigos e manuais de engenharia especifica
limitações para as deflexões visando a questões
de tolerância ou estética, e o resultado é que as deflexões
elásticas para a maioria das vigas e eixos formam
uma curva rasa. Por consequência, a inclinação da linha
elástica determinada por dvldx será muito pequena e o
quadrado dessa inclinação será desprezível em comparação
com a unidade.* Portanto, a curvatura, como
definimos anteriormente, pode ser aproximada por
*
Veja o Exemplo 12.1.