Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)
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Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

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23.02.2019 Views

414 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS cargas, podem existir concentrações de tensão em um eixo devido a chavetas, acoplamentos e transições repentinas em sua área de seção transversal (Seção 5.8). Portanto, para projetar um eixo de forma adequada, é necessário levar em conta todos esses efeitos. Nesta seção, discutiremos alguns dos aspectos importantes do projeto de eixos uniformes usados para transmitir potência. Esses eixos são frequentemente submetidos a cargas aplicadas a polias e engrenagens acopladas, como mostra a Figura ll.lla. Visto que as cargas podem ser aplicadas ao eixo em vários ângulos, o momento fletor interno e o momento de torção em qualquer seção transversal podem ser determinados substituindo-se as cargas por suas contrapartes estaticamente equivalentes e então decompondo essas cargas em componentes em dois planos perpendiculares (Figura ll.llb). A seguir, podemos traçar os diagramas de momento fletor para as cargas em cada plano, e o momento interno resultante em qualquer seção ao longo do eixo será determinado por adição vetorial, M = YMx2 + Mz2 (Figura 11.11c). Além de sujeitos ao momento, os segmentos do eixo também estão sujeitos a diferentes torques internos (Figura ll.llb ). Aqui, vemos que, para obter equilíbrio, o torque desenvolvido em uma engrenagem tem de equilibrar o torque desenvolvido na outra engrenagem. Para levar em conta a variação geral do torque ao longo do eixo, podemos traçar também um diagrama de torque (Figura ll.lld). Uma vez definidos os diagramas de momento e torque, é possível investigar certas seções críticas ao longo do eixo nas quais a combinação de um momento resultante M e um torque T cria a pior situação de tensão. A propósito, o momento de inércia do eixo é o mesmo em torno de qualquer eixo diametral e, visto que esse eixo representa um dxo principal de inércia para a seção transversal, podemos aplicar a fórmula da flexão usando o momento resultante para obter a tensão de flexão máxima. Como mostra a Figura 11.11e, essa tensão ocorrerá em dois elementos, C e D, cada um localizado no contorno externo do eixo. Se essa seção também tiver de resistir a um torque T, então desenvolve-se também uma tensão de cisalhamento máxima nesses elementos (Figura 11.11f). Além do mais, as forças externas também criarão tensão de cisalhamento no eixo determinada por r = VQ!It; todavia, essa tensão geralmente contribuirá com uma distribuição de tensão muito menor na seção transversal em comparação com a desenvolvida por flexão e torção. Em alguns casos, ela deve ser investigada, porém, por simplicidade, desprezaremos seu efeito na análise que faremos em seguida. Então, em geral, o elemento crítico D (ou C) sobre o eixo está sujeito ao estado plano de tensão, como mostra a Figura 11.11g, na qual Me Te (J = -- e r=- I J Se a tensão normal admissível ou a tensão de cisalhamento admissível for conhecida, as dimensões do eixo serão baseadas na utilização dessas equações e na seleção de uma teoria da falha adequada. Por exemplo, se soubermos que o material é dútil, então seria adequado usar a teoria da tensão de cisalhamento máxima. Como dissemos na Seção 10.7, essa teoria exige que a tensão de cisalhamento admissível, que é determinada pelos resultados de um teste de tração simples, seja igual à tensão de cisalhamento máxima no elemento. Usando a equação de transformação de tensão (Equação 9.7), para o estado de tensão na Figura ll.llg, temos T adm = ) ( Y + r2 = )(;y + (cy Visto que I= 7Tc4/4 e J = 7Tc4!2, essa equação torna-se - 2 v 2 2 T adm - --3 M + T 7TC Resolvendo para o raio do eixo, obtemos (11.2) A aplicação de qualquer outra teoria da falha resultará, é claro, em uma formulação diferente para c. Todavia, em todos os casos poderá ser necessário aplicar essa formulação a várias 'seções críticas' ao longo do eixo para determinar a combinação particular de M e T que dá o maior valor para c. O exemplo a seguir ilustra o procedimento numericamente. O eixo na Figura 11.12a é suportado por mancais _cm as correias das polias estão sujeitas às tensões mostrad­ A e B. Devido à transmissão de potência de e para o etxo. Determine o menor diâmetro do eixo pela teoria da tensao de cisalhamento máxima, com Tadm = 50 MPa. SOLUÇÃO As reaçoes dos apmos foram calculadas e sao mos diagrama de corpo livre do eixo (Figura 11.12b). Os - . - tradas ncr mas de momento fietor para Mx eM, são mostrados r as 11.12c e 11.12d, respectivamente. O diagrama de

PROJETO DE VIGAS E EIXOS 415 z A 475 N x 0,250 m 950 N 0,250 m 650 N X 47YN 0,150 m "' (b) y D 475N 950 N 1 118,75 I 0,250 m (c) 475 N 0,150m y (m) 150N Mz (N·m) I 3 L -- -- --- 7,5 N·m 650 N I · 75 N·m 500 N -- ----- -- --- -- --- y (m) (d) -7,5 l:lmostrado na Figura 11.12e. Por inspeção, os pontos críticos o momento fietor ocorrem em C ou B. Além disso, imematam(nte à direita de C e em B, o momento de torção é 7,5 · m. Em C, o momento resultante é (e) Figul'a 11.12 c = )1/3 ( --YM2 2 + T2 7TTadm Me = Y(118,75N·m? + (37,5 N·m)2 = 124,5 N·m = 2 6 2 Y(124,5N·m) 2 + (7,5N·m)2 passo que é menor em B, a saber 7r(50)(10 ) N/m Ms = 75 N ·m = 0,0117m Visto que o projeto é baseado na teoria da tensão de cisa- Assim, o menor diâmetro admissível é máxima, pode-se aplicar a Equação 11.2. O radical + T2 será o maior de todos em uma seção imediata- d = 2(0,0117 m) = 23,3 mm à direita de C. Temos :"1!!2__!! ( ) Resposta

PROJETO DE VIGAS E EIXOS 415<br />

z<br />

A 475 N<br />

x 0,250 m<br />

950 N<br />

0,250 m 650 N<br />

X 47YN<br />

0,150 m<br />

"'<br />

(b)<br />

y<br />

D<br />

475N<br />

950 N<br />

1 118,75<br />

I<br />

0,250 m<br />

(c)<br />

475 N<br />

0,150m<br />

y (m)<br />

150N<br />

Mz (N·m)<br />

I<br />

3<br />

L -- -- ---<br />

7,5<br />

N·m<br />

<br />

650 N<br />

I<br />

·<br />

75 N·m<br />

500 N<br />

--<br />

----- -- ---<br />

-- --- y (m)<br />

(d)<br />

-7,5<br />

l:lmostrado na Figura 11.12e. Por inspeção, os pontos críticos<br />

o momento fietor ocorrem em C ou B. Além disso, imematam(nte<br />

à direita de C e em B, o momento de torção é 7,5<br />

· m. Em C, o momento resultante é<br />

(e)<br />

Figul'a 11.12<br />

c =<br />

)1/3<br />

( --YM2 2 + T2<br />

7TTadm<br />

Me = Y(118,75N·m? + (37,5 N·m)2 = 124,5 N·m =<br />

2 6 2 Y(124,5N·m) 2 + (7,5N·m)2<br />

passo que é menor em B, a saber<br />

7r(50)(10 ) N/m<br />

Ms = 75 N ·m = 0,0117m<br />

Visto que o projeto é baseado na teoria da tensão de cisa- Assim, o menor diâmetro admissível é<br />

máxima, pode-se aplicar a Equação 11.2. O radical<br />

+ T2 será o maior de todos em uma seção im<strong>ed</strong>iata- d = 2(0,0117 m) = 23,3 mm<br />

à direita de C. Temos<br />

:"1!!2__!!<br />

(<br />

)<br />

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