Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO 381
y
(a)
(b)
---- X
(a)
y
(c)
Figura 10.21
Um modo de deduzir essa relação é considerar que
um elemento do material está sujeito a cisalhamento
puro (crx = crY = crz = O) (Figura 10.22a). A aplicação
da Equação 9.5 para obter as tensões principais nos dá
' Pela Equação 9.4, o elemento
(í máx = Txy e (T m ín = -r xy
tem de ser orientado a 8P1 = 45oem sentido anti-horário
em relação ao eixo x, de modo a definir a direção
do plano no qual cr máx age (Figura 10.22b ). Se as
três tensões principais cr max , = r xy , cr. m t
= O, cr
mm
, = -r xy'
forem substituídas na primeira das Equações 10.18, a
deformação principal Emáx pode ser relacionada com a
tensão de cisalhamento r . O resultado é
xy
(10.21)
Essa deformação, que distorce o elemento ao longo
do eixo x', também pode ser relacionada com a deformação
por cisalhamento 'Yxy por meio das equações de
transformação da deformação ou pelo círculo de Mohr
para deformação. Para tal, em primeiro lugar observ.e
que, considerando-se cr = cr = cr = O então pela
E -
X y z ' '
quaçao 10.18, E = E = O. Substituindo esses resultados
na equaçã de transformação (Equação 10.9),
obtemos
Pela lei de Hooke y
'Yxy
Et = Emáx = l
' xy
= r xy
/G'
de modo que
;máx, == rj2 G. Substituindo na Equação 10.21 e rear-
;nJando os termos, temos o resultado final, a saber
quação 10.20.
---- X
(b)
Figura 10.22
Dilatação e módulo de compressibilidade.
Quando um material elástico for submetido a tensão
normal, seu volume mudará. Para calcular essa mudança,
considere um elemento de volume que está sujeito
às tensões principais crx, crY, crz . Os lados do elemento
são originalmente dx, dy, dz (Figura 10.23a); contudo,
após a aplicação da tensão, eles se tornam, respectivamente,
(1 + E) dx, (1 + E) dy , (1 + E) dz (Figura
10.23b ). Portanto, a mudança no volume do elemento é
8V = (1 + Ex)(1 + Ey)(1 + Ez) dx dy dz - dx dy dz
Desprezando os produtos das deformações, já que
elas são muito pequenas, temos
8V = kr + Ey + Ez) dx dy dz
A mudança em volume por unidade de volume é
denominada 'deformação volumétrica' ou dilatação
(e) e pode ser expressa como
BV
e = d V
= Ex + Ey + Ez (10.22)
Por comparação, as deformações por cisalhamento
não mudarão o volume do elemento; mais exatamente,
mudarão apenas sua forma retangular.