Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)
352 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS da tensão no plano, é possível desenvolver equações de transformação de tensão que podem ser usadas para determinar as componentes de tensão normal o- de cisalhamento T que agem em qualquer plano oblíquo do elemento (Figura 9.27b ). Além do mais, também é possível determinar no ponto a orientação exclusiva de um elemento sobre cujas faces ajam somente tensões principais. Como mostra a Figura 9.27c, considera-se que essas tensões principais têm amplitudes de intensidade máxima, intermediária e mínima, isto é, (J máx 2:: (J int 2:: (J min' A discussão da transformação de tensão em três dimensões não está no escopo deste livro; todavia, ela é discutida em livros que tratam da teoria da elasticidade. Para nossa finalidade, consideraremos que a orientação principal do elemento e as tensões principais são conhecidas (Figura 9.27 c). Essa é uma condição conhecida como tensão triaxial. Se visualizarmos esse elemento em duas dimensões, isto é, nos planos y ' -z ', x' -z' e x' -y ' (figuras 9.28a, 9.28b e 9.28c), podemos usar o círculo de Mohr para determinar a tensão de cisalhamento máxima no plano para cada caso. Por exemplo, o diâmetro do círculo de Mohr estende-se entre as tensões principais o-int e o-min no caso mostrado na Figura 9.28a. Por esse círculo (Figura 9.28d), a tensão de cisalhamento máxima no plano é (T ,) á = (o-. 1 - o- . )/2 e a y z mx m mm tensão normal média associada é (a-int + a-min)/2. Como mostra a Figura 9.28e, o elemento sobre o qual estejam essas componentes de tensão deve estar orientado a 45° z' z' y' ITint Umáx frmáx ---' L___ y' x ' L--- X' (a) (b) (c) T (d) z' z' (e ) (f) (g) Figura 9.28
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO 353 relação à posição do elemento na Figura 9.28a. Os Se também foram representados na Figura 9.28d. Os e c ulos de Mohr para os elementos nas Figuras 9.28b e Íementos correspondentes que estejam orientados a :so e sujeitos a componentes de tensão de cisalhamento máxima no plano e tensão norml média são mostrados nas Figuras 9.28f e 9.28g, respectivamente. Comparando os três círculos na Figura 9.28d, vemos que a tensão de cisalhamento máxima absoluta, rabs máx' é definida pelo círculo que tem o maior raio, o que ocorre para 0 elemento mostrado na Figura 9.28b. Em outras palavras, o elemento na Figura 9.28f está orientado por uma rotação de 45° em tomo do eixo y ' em relação ao elemento na Figura 9.28b. Observe que essa condição também pode ser determinada diretamente apenas escolhendo as tensões principais máxima e mínima na Figura 9.27c, caso em que a tensão de cisalhamento absoluta máxima será rr máx - rr mín Tabs = máx 2 E a tensão normal média associada será CT máx + CT mín CTméd = 2 (9.13) (9.14) A análise considerou somente as componentes de tensão que agem em elementos localizados em posições determinadas por rotações em tomo do eixo x ' , y ' ou z'. Se tivéssemos usado as equações de transformação de tensão tridimensionais da teoria da elasticidade para obter valores das componentes de tensão normal e de tensão de cisalhamento que agem sobre qualquer plano oblíquo arbitrário no ponto, como na Figura 9.27b, poderíamos mostrar que, independentemente da orientação do plano, valores específicos da tensão de cisalhamento T no plano sempre serão menores do que a tensão de cisalhamento máxima absoluta determinada pela Equação 9.13. Além disso, a tensão normal cr que age em qualquer plano terá um valor que se encontrará entre as tensões principais máxima e mínima, isto é, cr m á x 2':. cr 2':. cr , . mm Tensão no plano. Esses resultados têm uma implicação importante para o caso da tensão no plano, em particular quando as tensões principais no plano têm o mesmo sinal, isto é, ambas são de tração ou ambas são de compressão. Por exemplo, considere que o material está sujeito à tensão no plano de modo tal que as tensões principais no plano são representadas como cr máx e cr int nas direções x ' e y ' , respectivamente, enquanto a tensão principal fora do plano na direção z' é cr mín = O (Figura 9.29a). Os círculos de Mohr que descrevem esse estado de tensão para orientações de elemento em torno dos três eixos coordenados são mostrados na Figura 9.29b.Aqui, vemos que, embora a tensão de cisalhamento máxima no plano seJ· a (r , ,) ,, = xy ma.. x ( cr máx crint)/2, esse valor não é a tensão de cisalhamento máxima - absoluta à qual o material está sujeito. Em vez disso, pela Equação 9.13 ou Figura 9.29b, - . ( ) CTmáx - O CTmáx T abs == 'T x'z' máx == == -- 2 2 (9.15) No caso em que uma das tensões principais no plano tem sinal oposto ao da outra, então essas tensões serão representadas como cr máx e cr m ín e a tensão principal fora do plano cr int = O (Figura 9.30a). Os círculos de Mohr que descrevem esse estado de tensão para orientações de elementos em torno de cada eixo coordenado são mostrados na Figura 9.30b. Claramente, nesse caso, 'T abs máx == ( ) rr máx - rr mín Tx'y' máx == • 2 (9.16) O cálculo da tensão de cisalhamento máxima absoluta como indicado aqui é importante no projeto de elementos estruturais feitos de material dútil, visto que a resistência do material depende de sua capacidade de resistir à tensão de cisalhamento. Essa situação será discutida também na Seção 10.7. T x' z ' Tensão no plano x'- y ' (a) l7máx ( Tx'y')máx ( ( Tx•z)máx \_ Tensão de cisalhamento Tensão de cisalhamento máxima no plano máxima absoluta (b) Figura 9.29 y'
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TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO 353<br />
relação à posição do elemento na Figura 9.28a. Os<br />
Se também foram representados na Figura 9.28d. Os<br />
e c ulos de Mohr para os elementos nas Figuras 9.28b e<br />
Íementos correspondentes que estejam orientados a<br />
:so e sujeitos a componentes de tensão de cisalhamento<br />
máxima no plano e tensão norml média são mostrados<br />
nas Figuras 9.28f e 9.28g, respectivamente.<br />
Comparando os três círculos na Figura 9.28d, vemos<br />
que a tensão de cisalhamento máxima absoluta, rabs máx'<br />
é definida pelo círculo que tem o maior raio, o que ocorre<br />
para 0 elemento mostrado na Figura 9.28b. Em outras palavras,<br />
o elemento na Figura 9.28f está orientado por uma<br />
rotação de 45° em tomo do eixo y ' em relação ao elemento<br />
na Figura 9.28b. Observe que essa condição também pode<br />
ser determinada diretamente apenas escolhendo as tensões<br />
principais máxima e mínima na Figura 9.27c, caso em que<br />
a tensão de cisalhamento absoluta máxima será<br />
rr máx -<br />
rr mín<br />
Tabs =<br />
máx 2<br />
E a tensão normal média associada será<br />
CT máx + CT mín<br />
CTméd = 2<br />
(9.13)<br />
(9.14)<br />
A análise considerou somente as componentes de tensão<br />
que agem em elementos localizados em posições determinadas<br />
por rotações em tomo do eixo x ' , y ' ou z'. Se<br />
tivéssemos usado as equações de transformação de tensão<br />
tridimensionais da teoria da elasticidade para obter<br />
valores das componentes de tensão normal e de tensão<br />
de cisalhamento que agem sobre qualquer plano oblíquo<br />
arbitrário no ponto, como na Figura 9.27b, poderíamos<br />
mostrar que, independentemente da orientação do plano,<br />
valores específicos da tensão de cisalhamento T no plano<br />
sempre serão menores do que a tensão de cisalhamento<br />
máxima absoluta determinada pela Equação 9.13. Além<br />
disso, a tensão normal cr que age em qualquer plano terá<br />
um valor que se encontrará entre as tensões principais<br />
máxima e mínima, isto é, cr m á x 2':. cr 2':. cr , .<br />
mm<br />
Tensão no plano. Esses resultados têm uma implicação<br />
importante para o caso da tensão no plano,<br />
em particular quando as tensões principais no plano<br />
têm o mesmo sinal, isto é, ambas são de tração ou ambas<br />
são de compressão. Por exemplo, considere que o<br />
material está sujeito à tensão no plano de modo tal<br />
que as tensões principais no plano são representadas<br />
como cr máx e cr int nas direções x ' e y ' , respectivamente,<br />
enquanto a tensão principal fora do plano na direção<br />
z' é cr mín = O (Figura 9.29a). Os círculos de Mohr que<br />
descrevem esse estado de tensão para orientações de<br />
elemento em torno dos três eixos coordenados são<br />
mostrados na Figura 9.29b.Aqui, vemos que, embora a<br />
tensão de cisalhamento máxima no plano seJ· a (r , ,) ,, =<br />
xy ma.. x<br />
( cr máx crint)/2, esse valor não é a tensão de cisalhamento<br />
máxima - absoluta à qual o material está sujeito. Em<br />
vez disso, pela Equação 9.13 ou Figura 9.29b,<br />
- .<br />
( )<br />
CTmáx -<br />
O<br />
CTmáx<br />
T abs == 'T x'z' máx ==<br />
== --<br />
2 2<br />
(9.15)<br />
No caso em que uma das tensões principais no plano<br />
tem sinal oposto ao da outra, então essas tensões serão<br />
representadas como cr máx e cr m ín e a tensão principal fora<br />
do plano cr int<br />
= O (Figura 9.30a). Os círculos de Mohr<br />
que descrevem esse estado de tensão para orientações<br />
de elementos em torno de cada eixo coordenado são<br />
mostrados na Figura 9.30b. Claramente, nesse caso,<br />
'T abs<br />
máx<br />
==<br />
(<br />
) rr máx - rr mín<br />
Tx'y' máx ==<br />
•<br />
2<br />
(9.16)<br />
O cálculo da tensão de cisalhamento máxima absoluta<br />
como indicado aqui é importante no projeto de<br />
elementos estruturais feitos de material dútil, visto que<br />
a resistência do material depende de sua capacidade<br />
de resistir à tensão de cisalhamento. Essa situação será<br />
discutida também na Seção 10.7.<br />
T<br />
x'<br />
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Tensão no plano x'- y '<br />
(a)<br />
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Tensão de cisalhamento máxima no plano<br />
máxima absoluta<br />
(b)<br />
Figura 9.29<br />
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