Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

340 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
As seguintes etapas devem ser observadas para construir e usar o círculo de Mohr.
Construção do círculo
• Defina um sistema de coordenadas tal que a abscissa represente a tensão normal u como positiva para a direita
ordenada represente a
e a
tensão de cisalhamento T como positiva para baixo (Figura 9.17a).*
"Usando a convenção de sinal positivo para u ,u , T x x
como mostra a Figura 9.17b, marque o centro do círculo C, que
está localizado no eixo u a uma distância u méd ,; ( + u)/2 da origem (Figura 9.17a).
• Marque o 'ponto de referência' A cujas coordenadas são A(u , T ). Esse ponto representa as componentes de tensão
X .ty
normal e de cisalhamento sobre a face vertical direita do elemento e, visto que o eixo x' coincide com o eixo x, isso
representa O = 0° (Figura 9.17b ).
• Ligue o ponto A ao centro C do círculo e determine CA por trigonometria. Essa distância representa o raio R
círculo (Figura 9.17a).
do
" Uma vez determinado R, desenhe o círculo.
Tensão principal
"As tensões principais u1 e u2 (u1 :2: u2) são representadas pelos dois pontos B e Donde o círculo intercepta o eixo
u, isto é, onde T =O (Figura 9.17a).
"Essas tensões agem em planos definidos por ângulos OP1 e O 2 (Figura 9.17c).
ângulos
Elas são representadas no círculo por
20P1 (mostrado) e 20P2 (não mostrado) e são medids da linha de referência radial até as linhas CB e CD ,
respectivamente.
• Usando trigonometria, somente um desses ângulos precisa ser calculado pelo círculo, já que OP1 e OP2 estão a 90° um
do outro. Lembre-se de que a direção de rotação 20P no círculo (aqui, sentido anti-horário) representa a mesma
direção de rotação OP do eixo de referência ( +x) até plano da tensão principal, ( +x') (Figura 9.17c).*
Tensão de cisalhamento máxima no plano
• As componentes tensão normal média e de tensão de cisalhamento máxima no plano são determinadas pelo
círculo como as coordenadas do ponto E ou F (Figura 9.17a).
• Nesse caso, os ângulos 0,1 e Osz dão a orientação dos planos que contêm essas componentes (Figura 9.17d). O ângulo
20,1 é mostrado na Figura 9.17a e pode ser determinado por trigonometria. Aqui, a rotação é em sentido horário e,
portanto, 0,1 deve ser em sentido horário no elemento (Figura 9.17d).*
Tensões em um plano arbitrário
"As componentes de tensão normal e de tensão de cisalhamento u , x
e Tx'y' que agem sobre um plano especifico definido
pelo ângulo O (Figura 9.17e), podem ser obtidas pelo círculo usando trigonometria para determinar as coordenadas
de ponto P (Figura 9.17a).
• Para localizar P, o ângulo conhecido O para o plano (nesse caso, em sentido anti-horário) (Figura 9.17e ), deve ser medido no
círculo na mesma direção 20 (sentido anti-horário ), da linha de referência radial CA até a linha radial CP(Figura 9.17a). *
Agora, considere girar o eixo x ' de 90° no sentido
anti-horário (Figura 9.16b ). Nesse caso, u x
, =
uY, T x
' y
' = -T xy· Esses valores são as coordenadas do
ponto G(uY, -Tx) no círculo (Figura 9.16c). Por consequência,
a linha radial CG está a 180° em sentido
anti-horário em relação à 'linha de referência ' CA .
Em outras palavras, uma rotação 8 do eixo x ' no elemento
corresponderá a uma rotação 28 no círculo na
mesma direção. *
Uma vez definido, o círculo de Mohr pode ser usado
para determinar as tensões principais, a tensão de cisalhamento
máxima no plano e a tensão normal média
' Se, ao contrário, construíssemos o eixo r positivo para cima, então
o ângulo 28 no círculo seria medido na direção oposta à orientação
e do plano.
associada, ou a tensão em qualquer plano arbitrário. O
método para fazer isso é explicado no procedimento de
análise a seguir.
A carga axial P produz o estado de tensão no material
como mostra a Figura 9.18a. Construa o círculo de Mohr
para esse caso.
SOLUÇÃO
Construção do círculo. Pela Figura 9.18a,
(T = (T (T =o T = 0
X y xy
Os eixos u eu estão definidos na Figura 9.18b. O centro do
círculo C encontra-se no eixo u em
p