Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)
330 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ··,....- ??" :,4f"'""' WC :70 Nllmum 2.s • M - O estado plano de tensão em um ponto sobre um corpo é mostrado no elemento na Figura 9.13a. Represente esse estado de tensão em termos das tensões principais. SOLUÇÃO Pela convenção de sinal estabelecida, temos (a) _:"" Uméd =/ Uméd - 2 , (T 7máxno - 2 plano , x' """ (b) \ Figura 9.12 Como estudos experimentais constataram que a tensão normal provoca falha em materiais frágeis, se a barra for feita de material frágil, como ferro fundido, a tensão normal provocará ruptura. Tensão de c:isalhamento máxima no plano. Pelas equações 9.6, 9.7, e 9.8, temos -(ux -uy)/2 tg 20s = -- Txy (Ux - Uy)2 (U T máx = + T 2 -Q)2 = -- + O 2 U = ±- no plano 2 xy 4SO 2 ( ) 2 Resposta G"méd= 2 2 Resposta Para determinar a orientação adequada do elemento, aplique a Equação 9.2. T x'y' = fíx - fíy sen 28 + T xy 2 cos 28 u -0 u 2 2 --- sen 90°+ O = Essa tensão de cisalhamento negativa age na face x ' , na direção de y ' negativo, como mostra a Figura 9.12b. OBSERVAÇÃO: Se a barra for feita de material dúctil como aço doce, então a tensão de cisalhamento provocará a ruptura da barra quando esta for submetida à tração. u = -20MPa X u y = 90 MPa Txy = 60 MPa Orientação de elemento. Aplicando a Equação 9.4, temos 60 ( -20 - 90)/2 Resolvendo e denominando essa raiz O P 2, como mostraremos a seguir, obtemos Como a diferença entre 20P1 e 20P2 é 180°, temos 20 = 180° + 20 = 132 51° pl p2 ' Lembre-se de que O é positivo quando medido em sentido anti-horário do eixo x até a normal orientada para fora (eixo x ' ) na face do elemento e, portanto, os resultados são os mos· trados na Figura 9.13b. Tensões principais. Temos Ux + Uy /(ux - Uy)2 0" 1,2 - 2 2 ± 'J + 2 Txy = -20 2 + 90 - (-20 ± 90 y 2 + (60)2 = 35,0 ± 81,4 u1 = 116MPa u 2 = -46,4 MPa Resposta Resposta O plano principal no qual cada tensão normal age pode ser determinado pela Equação 9.1 com, digamos, O == Opz "' -23,7°. Temos Ux + U y Ux - U )' Ux• = 2 + 2 cos 20 + Txy sen 20 -20 + 90 -20 - 90 37") = + cos 2(-23 7°) + 60 sen 2(-2 • 2 2 ' = -46,4 MPa p p d I r c Sl' 111. se O r M
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO 331 90 MPa x ' u1 = 116 MPa e P , = 23,7° Uz = 46,4 MPa (a) (b) Figura 9.13 (c) Por consequência, a2 = -46,4 MPa age no plano definido por e 2 = -23,7°, ao passo que a P 1 = 116 MPa age no plano definfdo por e P 1 = 66,3°. Os resultados são mostrados no elemento na Figura 9.13c. Lembre-se de que nenhuma tensão de cisalhamento age nesse elemento. O estado plano de tensão em um ponto sobre um corpo é representado no elemento mostrado na Figura 9.14a. Represente esse estado de tensão como a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média associada. SOLUÇÃO Orientação de elemento. Como a x = -20 MPa, a Y = 90 MPa e r xy = 60 MPa e aplicando a Equação 9.6, temos 2e,, = 42,5° 2e,l = 180° + 2e,, -( -20 - 90)/2 60 e,, = 21,3° e,1 = 111,3° Observe que esses ângulos mostrados na Figura 9.14b estão a 45° dos planos principais de tensão, que foram determinados no Exemplo 9.5. Tensão de dsalhamento máxima no plano. Aplicando a Equação 9.7, ( O' x- O' y) 2 (-20 - 90)2 'Tplano = 2 + rx/ = 2 + (60)2 = 81,4 MPa Resposta A direção adequada de r máx no plano no elemento pode ser determinada considerando e = e ,2 = 21,3° e aplicando a Equação 9.2. Temos 'Tx'y' = -(ax-O'y) 2 sen 2e + rxy cos 2e = -(-20 - 90) 2 sen 2(21,3°) + 60 cos 2(21,3°) = 81,4 MPa 90 MPa x ' 35 MPa (a) (b) Figura 9.14 (c)
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??" :,4f"'""' WC :70<br />
Nllmum 2.s<br />
• M -<br />
<br />
O estado plano de tensão em um ponto sobre um corpo<br />
é mostrado no elemento na Figura 9.13a. Represente esse<br />
estado de tensão em termos das tensões principais.<br />
SOLUÇÃO<br />
Pela convenção de sinal estabelecida, temos<br />
(a)<br />
_:"" Uméd =/<br />
Uméd - 2 ,<br />
(T<br />
7máxno - 2<br />
plano<br />
, x'<br />
"""<br />
(b)<br />
\<br />
Figura 9.12<br />
Como estudos experimentais constataram que a tensão normal<br />
provoca falha em materiais frágeis, se a barra for feita<br />
de material frágil, como ferro fundido, a tensão normal provocará<br />
ruptura.<br />
Tensão de c:isalhamento máxima no plano. Pelas equações<br />
9.6, 9.7, e 9.8, temos<br />
-(ux -uy)/2<br />
tg 20s = --<br />
Txy<br />
(Ux - Uy)2 (U<br />
T máx = + T 2 -Q)2<br />
= -- + O 2<br />
U<br />
= ±-<br />
no plano<br />
2<br />
xy<br />
4SO<br />
2 ( )<br />
2<br />
Resposta<br />
G"méd= 2 2<br />
Resposta<br />
Para determinar a orientação adequada do elemento, aplique<br />
a Equação 9.2.<br />
T x'y' =<br />
fíx - fíy<br />
sen 28 + T xy<br />
2<br />
cos 28<br />
u -0<br />
u<br />
2 2<br />
--- sen 90°+ O =<br />
Essa tensão de cisalhamento negativa age na face x ' , na direção<br />
de y ' negativo, como mostra a Figura 9.12b.<br />
OBSERVAÇÃO: Se a barra for feita de material dúctil como<br />
aço doce, então a tensão de cisalhamento provocará a ruptura<br />
da barra quando esta for submetida à tração.<br />
u = -20MPa<br />
X<br />
u y = 90 MPa Txy = 60 MPa<br />
Orientação de elemento. Aplicando a Equação 9.4, temos<br />
60<br />
( -20 - 90)/2<br />
Resolvendo e denominando essa raiz O P<br />
2, como mostraremos<br />
a seguir, obtemos<br />
Como a diferença entre 20P1 e 20P2 é 180°, temos<br />
20 = 180° + 20 = 132 51°<br />
pl p2 '<br />
Lembre-se de que O é positivo quando m<strong>ed</strong>ido em sentido<br />
anti-horário do eixo x até a normal orientada para fora (eixo<br />
x ' ) na face do elemento e, portanto, os resultados são os mos·<br />
trados na Figura 9.13b.<br />
Tensões principais. Temos<br />
Ux + Uy /(ux - Uy)2 0"<br />
1,2 - 2<br />
2 ± 'J +<br />
2<br />
Txy<br />
= -20 2 + 90 -<br />
(-20<br />
± 90 y<br />
2 + (60)2<br />
= 35,0 ± 81,4<br />
u1 = 116MPa<br />
u 2<br />
= -46,4 MPa<br />
Resposta<br />
Resposta<br />
O plano principal no qual cada tensão normal age pode<br />
ser determinado pela Equação 9.1 com, digamos, O ==<br />
Opz "'<br />
-23,7°. Temos<br />
Ux + U y Ux - U )'<br />
Ux• =<br />
2<br />
+<br />
2<br />
cos 20 + Txy sen 20<br />
-20 + 90 -20 - 90 37")<br />
= + cos 2(-23 7°) + 60 sen 2(-2 •<br />
2 2 '<br />
= -46,4 MPa<br />
p<br />
p<br />
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111.<br />
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