Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

328 RESISTNCIA DOS MATERIAIS
da tomando-se a derivada da Equação 9.2 em relação
a e e igualando o resultado a zero. Isso dá
-((jx - G'y)/2
tg 2es = --
Txy (9.6)
para e p 2'
COS 2e p 2 = -
( (jx - (jy)l
( (jx - (jy)2
2 2
2
+ Txy
Se qualquer desses dois conjuntos de relações trigonométricas
for substituído na Equação 9.1 e simplificado,
obteremos
As duas raízes dessa equação, es1 e esz' podem ser
determinadas pelos triângulos sombreados mostrados
na Figura 9.10. Por comparação com a Figura 9.8, cada
raiz de 2e s está a 90° de 2e . Logo, as raízes e e
s
p e
p esta-0
a 45° uma da outra, e o resultado é que os planos para
tensão de cisallzamento máxima podem ser determinados
orientando um elemento a 45° em relação à
posição de um elemento que define os planos da tensão
principal.
Usando qualquer uma das raízes es1 ou esz' podemos
determinar a tensão de cisalhamento máxima tomando
os valores trigonométricos de sen 2es e cos 2e s da Figura
9.10 e substituindo-os na Equação 9.2. O resultado é
(9.5)
T máx = )((jx
(j y)2
+ Tx/
no plano
(9.7)
Dependendo do sinal escolhido, esse resultado dá
a tensão normal máxima ou inínima no plano que age
em um ponto, onde (j1 2 (j2 • Esse conjunto particular
de valores é denominado tensões principais no plano,
e os planos correspondentes sobre os quais agem são
denominados planos principais de tensão (Figura 9.9).
Além do mais, se as relações trigonométricas para eP1
e eP forem substituídas na Equação 9.2, podemos ver
2
que r , , = O·, isto é, nenhuma tensão de cisallzamento
xy
age nos planos principais.
o valor de T máxno plano calculado pela Equação 9.7 é
denominado tensão de cisal/zamento máxima no plano
porque age sobre o elemento no plano x-y.
Substituindo os valores de sen 2e, e cos 2e, na Equação
9.1, vemos que também há uma tensão normal nos
planos onde ocorre a tensão de cisalhamento máxima,
Obtemos
(jméd = 2
(9.8)
Como ocorre com as equações de transformação
de tensão, pode ser conveniente programar essas equações
em uma calculadora de bolso.
Tensão de cisalhamento máxima no plano.
A orientação de um elemento cujas faces estão sujeitas
à tensão de cisalhamento máxima pode ser determinay'
Tensões principais no plano
Figura 9.9 Figura 9.10