Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)
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Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

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324 RESISTNCIA DOS MATERIAIS +'\2:Fy• = O; Tx•v• ilA - (50 ilA cos 30°) sen 30° - (25 ilA cos 30°) cos 30° - (80 ilA sen 30") cos 30° + (25 ilA sen 30") sen 30° = O Tx•y• = 68,8 MPa Resposta Como cr_e é negativa, ela age na direção oposta à mostrada na Figura 9 .4c. Os resultados são mostrados na parte superior do elemento na Figura 9.4d, uma vez que essa superfície é a considerada na Figura 9.4c. Agora, temos de repetir o procedimento para obter a tensão no plano perpendicular b-b. O corte do elemento na Figura 9.4a ao longo de b-b resulta em um segmento cujos lados têm as áreas mostradas na Figura 9.4e. Se orientarmos o eixo + x ' para fora, perpendicularmente à face secionada, o diagrama de corpo livre associado será o mostrado na Figura 9.4f. Assim, CTx• ilA - (25 ilA cos 30°) sen 30° + (80 ilA cos 30°) cos 30° - (25 ilA sen 30") cos 30° - (50 ilA sen 30") sen 30° = O CTx• = -25,8 MPa Resposta + J"2:F i = O; -r x'y' ilA + (25 ilA cos 30°) cos 30° + (80 ilA cos 30°) sen 30° (25 ilA sen 30") sen 30° + (50 ilA sen 30") c os 30° = O Tx'y' = 68,8 MPa Resposta Como crx, é uma quantidade negativa, ela age no sentido oposto à direção mostrada na Figura 9.4f. A Figura 9.4d mostra as componentes de tensão agindo no lado direito do elemento. Portanto, por essa análise podemos concluir que o estado de tensão no ponto pode ser representado escolhendo um elemento orientado como mostra a Figura 9.4a ou escolhendo um elemento orientado como mostra a Figura 9.4d. Em outras palavras, os estados de tensão são equivalentes. 9.2 Equações gerais de transformação de tensão no plano O método para transformar as componentes de tensão normal e de cisalhamento dos eixos coordenados x, y para os eixos coordenados x', y', como discutimos na seção anterior, agora será desenvolvido de um modo geral e expresso como um conjunto de equações de transformação de tensão. Convenção de sinal. Antes de deduzir as equações de transformação, devemos definir uma convenção de sinal para as componentes de tensão. Aqui, adotaremos a mesma usada na Seção 1.3. Em resumo uma vez definidos os eixos x, y ou x', y', uma compo nente de tensão normal ou de cisalhamento é positiva contanto que aja na direção positiva da coordenada na face positiva do elemento ou na direção negativa da coordenada na face negativa do elemento, Figura 9.5a. Por exemplo, ux é positiva, porque age para a direita na face vertical direita e para a esquerda (direção -x) na face vertical esquerda. A Figura 9.5a mostra a tensão de cisalhamento agindo na direção positiva em todas as quatro faces do elemento. Na face direita, Tx y age para cima (direção +y); na face inferior, Tx y age para a esquerda (direção -x) e assim por diante. Todas as componentes de tensão mostradas na Figura 9.5a mantêm o equilíbrio do elemento e, por isso, saber a direção de Tx y em uma face do elemento define sua direção nas outras três faces. Por consequência, a convenção de sinal que definimos também pode ser lembrada por meio da simples observação de que a tensão normal positiva age para fora de todas as faces e a tensão de cisalhamento positiva age para cima na face direita do elemento. Dado o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.5a, a orientação do plano inclinado no qual as compo· nentes de tensão normal e de cisalhamento devem ser determinadas serão definidas usando o ângulo 6. Para mostrar esse ângulo de maneira adequada, em primei· ro lugar é preciso definir um eixo x' positivo dirigido para fora, perpendicular ou normal ao plano, e um eixo y' associado dirigido ao longo do plano (Figura 9.5b). Observe que ambos os conjuntos de eixos sem linha c com linha formam sistemas de coordenadas voltados para a direita; isto é, o eixo z (ou z') positivo é definido pela regra da mão direita. Curvando os dedos de x (ou x') na direção de y (ou y'), obtemos a direção para 0 eixo z (ou z') positivo que aponta para fora. O âg;tlo 8 é medido do eixo x positivo para o eixo x ' postttvo. Ele é positivo desde que siga a curvatura dos dedos da mão direita, isto é, no sentido anti-horário, como mostra a Figura 9.5b. Componentes de tensão normal e de ci· lhamento. Usando a convenção de sinal defini a. o elemento na Figura 9.6a é secionado ao l ngo do 6b no inclinado e o segmento mostrado na Ftgur 9À isolado. Considerando que a área secionada e !:l • áreas das faces horizontal e vertical do segmento M sen {}eM cos 8, respectivamente.

TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO 325 y y y L---- X (a) Convenção de sinal positivo (b) Figura 9.5 y y' \ x' y' \ x' (a) (b) f) uy M sen fJ (c) (d) Figma 9.6 O diagrama de corpo livre resultante para o segmento é mostrado na Figura 9.6c. Aplicando as equações de equilíbrio de força para determinar as componentes da tensão normal e de cisalhamento desconhecidas, U'x' e T x'y'' obtemos + 7'2:-F x' = O; cr x' LlA - (r x y LlA sen 8) cos 8 - ( cr Y LlA sen 8) sen 8 - (r xy LlA cos e) sen () - (crx LlA cos 8) cos 8 = O crx• = crx cos 2 8 + cr y sen 2 8 + rx y (2 sen 8cos 8)

TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO 325<br />

y<br />

y<br />

y<br />

L---- X<br />

(a)<br />

Convenção de sinal positivo<br />

(b)<br />

Figura 9.5<br />

y<br />

y'<br />

\ x'<br />

y'<br />

\<br />

x'<br />

(a) (b)<br />

f)<br />

uy M sen fJ<br />

(c)<br />

(d)<br />

Figma 9.6<br />

O diagrama de corpo livre resultante para o segmento<br />

é mostrado na Figura 9.6c. Aplicando as equações<br />

de equilíbrio de força para determinar as componentes<br />

da tensão normal e de cisalhamento desconhecidas,<br />

U'x' e T x'y'' obtemos<br />

+ 7'2:-F x' = O; cr x' LlA - (r x y LlA sen 8) cos 8<br />

- ( cr Y<br />

LlA sen 8) sen 8 - (r xy LlA cos e) sen ()<br />

- (crx LlA cos 8) cos 8 = O<br />

crx• = crx cos 2 8 + cr y sen 2 8 + rx y (2 sen 8cos 8)

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