Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

324 RESISTNCIA DOS MATERIAIS
+'\2:Fy• = O; Tx•v• ilA - (50 ilA cos 30°) sen 30°
- (25 ilA cos 30°) cos 30° - (80 ilA sen 30") cos 30°
+ (25 ilA sen 30") sen 30° = O
Tx•y• = 68,8 MPa
Resposta
Como cr_e é negativa, ela age na direção oposta à mostrada
na Figura 9 .4c. Os resultados são mostrados na parte superior
do elemento na Figura 9.4d, uma vez que essa superfície é a
considerada na Figura 9.4c.
Agora, temos de repetir o procedimento para obter a
tensão no plano perpendicular b-b. O corte do elemento na
Figura 9.4a ao longo de b-b resulta em um segmento cujos
lados têm as áreas mostradas na Figura 9.4e. Se orientarmos
o eixo + x ' para fora, perpendicularmente à face secionada, o
diagrama de corpo livre associado será o mostrado na Figura
9.4f. Assim,
CTx• ilA - (25 ilA cos 30°) sen 30°
+ (80 ilA cos 30°) cos 30° - (25 ilA sen 30") cos 30°
- (50 ilA sen 30") sen 30° = O
CTx• = -25,8 MPa
Resposta
+ J"2:F i = O; -r x'y' ilA + (25 ilA cos 30°) cos 30°
+ (80 ilA cos 30°) sen 30° (25 ilA sen 30") sen 30°
+ (50 ilA sen 30") c os 30° = O
Tx'y' = 68,8 MPa
Resposta
Como crx, é uma quantidade negativa, ela age no sentido oposto
à direção mostrada na Figura 9.4f. A Figura 9.4d mostra as
componentes de tensão agindo no lado direito do elemento.
Portanto, por essa análise podemos concluir que o estado
de tensão no ponto pode ser representado escolhendo um
elemento orientado como mostra a Figura 9.4a ou escolhendo
um elemento orientado como mostra a Figura 9.4d. Em
outras palavras, os estados de tensão são equivalentes.
9.2 Equações gerais de
transformação de tensão
no plano
O método para transformar as componentes de
tensão normal e de cisalhamento dos eixos coordenados
x, y para os eixos coordenados x', y', como discutimos
na seção anterior, agora será desenvolvido de um
modo geral e expresso como um conjunto de equações
de transformação de tensão.
Convenção de sinal.
Antes de deduzir as equações
de transformação, devemos definir uma convenção
de sinal para as componentes de tensão. Aqui,
adotaremos a mesma usada na Seção 1.3. Em resumo
uma vez definidos os eixos x, y ou x', y', uma compo
nente de tensão normal ou de cisalhamento é positiva
contanto que aja na direção positiva da coordenada
na face positiva do elemento ou na direção negativa
da coordenada na face negativa do elemento, Figura
9.5a. Por exemplo, ux é positiva, porque age para a
direita na face vertical direita e para a esquerda (direção
-x) na face vertical esquerda. A Figura 9.5a
mostra a tensão de cisalhamento agindo na direção
positiva em todas as quatro faces do elemento. Na
face direita, Tx y
age para cima (direção +y); na face
inferior, Tx y
age para a esquerda (direção -x) e assim
por diante.
Todas as componentes de tensão mostradas na Figura
9.5a mantêm o equilíbrio do elemento e, por isso,
saber a direção de Tx y
em uma face do elemento define
sua direção nas outras três faces. Por consequência, a
convenção de sinal que definimos também pode ser
lembrada por meio da simples observação de que a
tensão normal positiva age para fora de todas as faces
e a tensão de cisalhamento positiva age para cima
na face direita do elemento.
Dado o estado plano de tensão mostrado na Figura
9.5a, a orientação do plano inclinado no qual as compo·
nentes de tensão normal e de cisalhamento devem ser
determinadas serão definidas usando o ângulo 6. Para
mostrar esse ângulo de maneira adequada, em primei·
ro lugar é preciso definir um eixo x' positivo dirigido
para fora, perpendicular ou normal ao plano, e um eixo
y' associado dirigido ao longo do plano (Figura 9.5b).
Observe que ambos os conjuntos de eixos sem linha c
com linha formam sistemas de coordenadas voltados
para a direita; isto é, o eixo z (ou z') positivo é definido
pela regra da mão direita. Curvando os dedos de x (ou
x') na direção de y (ou y'), obtemos a direção para 0
eixo z (ou z') positivo que aponta para fora. O âg;tlo
8 é medido do eixo x positivo para o eixo x ' postttvo.
Ele é positivo desde que siga a curvatura dos dedos
da mão direita, isto é, no sentido anti-horário, como
mostra a Figura 9.5b.
Componentes de tensão normal e de ci·
lhamento. Usando a convenção de sinal defini a.
o elemento na Figura 9.6a é secionado ao l ngo do
6b
no inclinado e o segmento mostrado na Ftgur 9À
isolado. Considerando que a área secionada e !:l •
áreas das faces horizontal e vertical do segmento
M sen {}eM cos 8, respectivamente.