Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)
306 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS kPa (a) (b) (c) Figura 8.4 O tanque na Figura 8.4a tem raio interno de 600 mm e espessura de 12 mm. Está cheio até em cima com água cujo peso específico é Yágua = 10 kN/m3• Se o tanque for feito de aço com peso específico Yaço = 78 kN/m3, determine o estado de tensão no ponto A. A parte superior do tanque é aberta. SOLUÇÃO Cargas internas. O diagrama de corpo livre da seção do tanque e da água acima do ponto A é mostrado na Figura 8.4b. Observe que o peso da água é suportado pela superfície da água imediatamente abaixo da seção e não pelas paredes do tanque. Na direção vertical, as paredes simplesmente apoiam o peso do tanque. Esse peso é [ ( 612 )2 ( 600 )2] ço = Yaço V.ço= (78 kN/m3) 7T -- m - 7T -- 1.000 1.000 m (1 m) = 3,56 kN A tensão na direção circunferencial é desenvolvida pela pressão da água no nível A. Para obter essa pressão, devemos usar a lei de Pascal, segundo a qual a pressão em um ponto localizado a uma profundidade z na água é p = 'Y água z Por • consequência, a pressão no tanque no nível A é P = Yáguaz = (lO kN/m3)(1 m) = 10 kN/m2 = 10 kPa Componentes da tensão. Tensão circunferencial. Aplicando a Equação 8.1, usando o raio interno r = 600 mm, temos 10 kN/m2 ( -ººº- m) 0"1 = pr = l.ooo = 500 kPa ( 1 1 goo m) Resposta Tensão longitudinal. Visto que o peso do tanque é suportado uniformemente pelas paredes, temos u = 3,56 kN 2 = _____ :___ 6-00--2- = 77,9 kPa 1.000 1.ooo Resposta Aaço TT[( _ill_ m)2 - ( m) ] OBSERVAÇÃO: A Equação 8.2, u 2 = pr/2t, não se aplica aqui, visto que o tanque é aberto na parte superior e, portanto, como já dissemos, a água não pode desenvolver uma carga nas paredes na direção longitudinal. Portanto, o ponto A está sujeito à tensão biaxial mostrada na Figura 8.4c. O elemento mostrado na Figura 8.5a tem seção transversal retangular. Determine o estado de tensão que a carga produz no ponto C. SOLUÇÃO Cargas internas. As reações dos apoios sobre o elemento foram determinadas e são mostradas na Figura 8.5b. Se considerarmos o segmento AC da esquerda do elemento (Figura 8.5c), as cargas internas resultantes na seção consistem em uma força normal, uma força de cisalhamento e um momento fietor. Resolvendo, N= 16,45 kN V= 21,93kN M = 32,89 kN · Componentes da tensão. Força normal. A distribuição uniforme da tensão normal que age sobre a seção transversal é produzida pela força normal (Figura 8.5d). No ponto C, P uc = - = A 16,45 kN = (0,050m)(0,250m) 1,32MPa Força de cisalhamento. Aqui, a área A' = O, visto que o ponto C está localizado na parte superior do elemento. Assim, Q = y'A' = O e, para C (Figura 8.5e), a tensão de cisalhamento vale Momento fletor. O ponto C está localizado a Y "' c 125 mm do eixo neutro, portanto, a tensão normal ern v (Figura 8.5f) é nt C
CARGAS COMBINADAS 307 50 kN/m 16,45 kNr== 1--- 4 m ---4-- (a) 21,93 kN (c) crc = 1,32 MPa cr c = 63,15 MPa + + Força normal (d) Força de cisalhamento (e) Me (32,89 kN · m)(0,125 m) uc = - = = I [ 1 63 16 MPa 12 (0,050 m) (0,250) 3] ' Superposição. A tensão de cisalhamento é nula. A soma das tensões normais determinadas acima dá uma tensão de compressão em C com valor de Figura 8.5 Momento fletor (f) ---{Jd}-- 64,5 MPa seis equações de equilíbrio. Verifique esses resultados. A força normal (500 N) e a força de cisalhamento (800 N) devem agir no centroide da seção transversal, e as componentes do momento fletor (8.000 N · cm e 7.000 N · cm) são aplicadas em torno dos eixos do centroide (principais). Para "visualizar" melhor as distribuições da tensão devidas a cada uma dessas cargas, consideraremos as resultantes iguais, mas opostas que agem emAC (Figura 8.6c). u c = 1,32 MP a + 63,16 MPa = 64,5 MPa Resposta Componentes da tensão. Este resultado, agindo sobre um elemento em C, é mostrado Força normal. A distribuição da tensão normal é mostrada na Figura 8.6d. Para o ponto A, na Figura 8.5g. temos (g) A haste maciça mostrada na Figura 8.6a tem raio de 0,75 cm. Se estiver sujeita à carga mostrada, determine o estado de tensão no ponto A. SOLUÇÃO cạrgas internas. A haste é secionada no ponto A. Pelo diagrama de corpo livre do segmento AB (Figura 8.6b ) , as cargas internas resultantes podem ser determinadas pelas p A 500 N = 283 N/cm2 = 2,83 MPa 7r(0,75 cm2) Força de cisalhamento. A distribuição da tensão de cisalhamento é mostrada na Figura 8.6e. Para o ponto A, Q é determinada pela área semicircular sombreada. Pela tabela apresentada no final deste livro, temos
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306 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS<br />
kPa<br />
(a) (b) (c)<br />
Figura 8.4<br />
O tanque na Figura 8.4a tem raio interno de 600 mm e<br />
espessura de 12 mm. Está cheio até em cima com água cujo<br />
peso específico é Yágua = 10 kN/m3• Se o tanque for feito de<br />
aço com peso específico Yaço = 78 kN/m3, determine o estado<br />
de tensão no ponto A. A parte superior do tanque é aberta.<br />
SOLUÇÃO<br />
Cargas internas. O diagrama de corpo livre da seção do<br />
tanque e da água acima do ponto A é mostrado na Figura 8.4b.<br />
Observe que o peso da água é suportado pela superfície da<br />
água im<strong>ed</strong>iatamente abaixo da seção e não pelas par<strong>ed</strong>es do<br />
tanque. Na direção vertical, as par<strong>ed</strong>es simplesmente apoiam<br />
o peso do tanque. Esse peso é<br />
[ ( 612 )2 ( 600 )2]<br />
ço = Yaço V.ço= (78 kN/m3) 7T -- m - 7T --<br />
1.000 1.000<br />
m<br />
(1 m) = 3,56 kN<br />
A tensão na direção circunferencial é desenvolvida pela<br />
pressão da água no nível A. Para obter essa pressão, devemos<br />
usar a lei de Pascal, segundo a qual a pressão em um ponto<br />
localizado a uma profundidade z na água é p = 'Y água z Por<br />
•<br />
consequência, a pressão no tanque no nível A é<br />
P = Yáguaz = (lO kN/m3)(1 m) = 10 kN/m2 = 10 kPa<br />
Componentes da tensão.<br />
Tensão circunferencial. Aplicando a Equação 8.1, usando<br />
o raio interno r = 600 mm, temos<br />
10 kN/m2 ( -ººº- m)<br />
0"1 = pr = l.ooo = 500 kPa<br />
( 1 1 goo m) Resposta<br />
Tensão longitudinal. Visto que o peso do tanque é suportado<br />
uniformemente pelas par<strong>ed</strong>es, temos<br />
u = 3,56 kN<br />
2<br />
= _____ :___ 6-00--2- = 77,9 kPa<br />
1.000 1.ooo Resposta<br />
Aaço TT[( _ill_ m)2 - ( m) ]<br />
OBSERVAÇÃO: A Equação 8.2, u 2<br />
= pr/2t, não se aplica<br />
aqui, visto que o tanque é aberto na parte superior e, portanto,<br />
como já dissemos, a água não pode desenvolver uma<br />
carga nas par<strong>ed</strong>es na direção longitudinal.<br />
Portanto, o ponto A está sujeito à tensão biaxial mostrada<br />
na Figura 8.4c.<br />
O elemento mostrado na Figura 8.5a tem seção transversal<br />
retangular. Determine o estado de tensão que a carga<br />
produz no ponto C.<br />
SOLUÇÃO<br />
Cargas internas. As reações dos apoios sobre o elemento<br />
foram determinadas e são mostradas na Figura 8.5b. Se<br />
considerarmos o segmento AC da esquerda do elemento<br />
(Figura 8.5c), as cargas internas resultantes na seção consistem<br />
em uma força normal, uma força de cisalhamento e um<br />
momento fietor. Resolvendo,<br />
N= 16,45 kN V= 21,93kN M = 32,89 kN ·<br />
Componentes da tensão.<br />
Força normal. A distribuição uniforme da tensão normal<br />
que age sobre a seção transversal é produzida pela força normal<br />
(Figura 8.5d). No ponto C,<br />
P<br />
uc = - =<br />
A<br />
16,45 kN<br />
=<br />
(0,050m)(0,250m)<br />
1,32MPa<br />
Força de cisalhamento. Aqui, a área A' = O, visto que<br />
o ponto C está localizado na parte superior do elemento.<br />
Assim, Q = y'A' = O e, para C (Figura 8.5e), a tensão de<br />
cisalhamento vale<br />
Momento fletor. O ponto C está localizado a Y "' c<br />
125 mm do eixo neutro, portanto, a tensão normal ern v<br />
(Figura 8.5f) é<br />
nt<br />
C