Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)
270 RESISTNCIA DOS MATERIAIS Parte (b). Propriedades da seção. A tensão de cisalhamento máxima ocorre no eixo neutro, visto que t é constante em toda a seção transversal e Q é o maior nesse caso. Para a área escura A' na Figura 7.10d, temos Q = Y ' A ' = [ 62,5 2 mm ] (100 mm) (62,5 mm) = 19,53 mm X 104 mm3 Tensão de cisalhamento. A aplicação da fórmula do cisalhamento produz (3 kN)(19,53 X 104 mm3) (16,28 X 106 mm4)(100 mm) = 3,60 mm X 10-4 kN/mm2 = 0,360 MPa Tmáx = VQ = It Observe que isso é equivalente a v 3kN máx ' A ' (100 mm)(125 mm) 7 = 15- = 15 -- = 3,6 X 10-4 kN/mm2 = 0,36 MPa mFlU,. 00 "' 0 )/ "tif'4"""o j! " '00\ )1 X '"' "'"''"'""' 'if -"'* - ::,._" Resposta Resposta Uma viga T de aço tem as dimensões mostradas na Figura 7.11a. Se for submetida a uma força de cisalhamento (força cortante) V = 80 kN, (a) trace uma curva da distribuição da tensão de cisalhamento que age na área da seção transversal da viga e (b) determine a força de cisalhamento à qual a alma resiste. SOLUÇÃO Parte (a). A distribuição da tensão de cisalhamento será parabólica e variará da maneira mostrada na Figura 7.1lb. Devido à simetria, somente as tensões de cisalhamento nos pontos B', B e C devem ser calculadas. Para mostrar como esses valores são obtidos, em primeiro lugar, determinamos o momento de inércia da área da seção transversal em torno do eixo neutro. Trabalhando em metros, temos I= [ 1 (0,015 m)(0,200 m)3] + 2U 2 (0,300 m)(0,02 m)3 + (0,300 m)(0,02 m)(O,llO m?] = 155,6(10-6) m4 Para o ponto B', t8, = 0,300 m, e A' é a área escura mostrada na Figura 7.11c.Assim, Q8 , = f'A' = [0,110 m](0,300 m)(0,02 m) = 0,660(10-3) m3 de modo que Para o ponto B, t8 = 0,015 m, e Q8 = Q8, (Figura 7.11c). Por consequência, Observe, pela discussão sobre as "Limitações ao uso da fórmula do cisalhamento", que os valores calculados para ambas, 7 8 e 7 8, não serão, na verdade, muito precisos. Por quê? Para o ponto C, te = 0,015 me A' é a área sombreada escura mostrada na Figura 7.11d. Considerando que essa área é composta por dois retângulos, temos Assim, Te = 7 máx = Qc = 2:y' A' = [0,110 m](0,300 m)(0,02 m) + [0,05 m](0,015 m)(0,100 m) = 0,735(10-3) m3 VQc 80 kN[0,735(10-3) m3] I te = 155,6(10-6) m4(0,015 m) = 25 '2 MPa Parte (b). A força de cisalhamento na alma será determinada formulando, em primeiro lugar, a tensão de cisalhamento em uma localização arbitrária y no interior da alma (Figura 7.1le). Trabalhando em metros, temos I = 155,6(10-6) m4 t = 0,015 m A' = (0,300 m)(0,02 m) + (0,015 m)(0,1 m - y) Q = 2:y' A' = (0,11 m)(0,300 m)(0,02 m) + [y + !(0,1 m - y)](0,015m)(0,1 m - y) = (0,735 - 7,50 yZ)(10-3) m3 de modo que 80 kN(0,735 - 7,50 y2)(1o-3) m3 It (155,6(10-6) m4)(0,015 m) = (25,193 - 257,07y2) MPa VQ 7=-= Essa tensão age na área infinitesimal dA = 0,015 dy mostrada na Figura 7.11 e, portanto, a força de cisalhamento à qual a alma resiste é 1 10,1m , V.Ima = 7 dA = (25,193 - 257,07y2)(106)(0,015 m) a Aalma -O,l m V.1ma = 73,0 kN R esposta
CiSALHAMENTO TRANSVERSAL 271 I (c) I (a) OBSERVAÇÃO: Por comparação, a alma suporta 91% do cisalhamento restantes 9%. Tente total (80 resolver kN), enquanto este problema as abas determinando suportam os a força em uma das abas (3,496 kN) pelo mesmo método. Então, Valma = V- 2 Vaba = 80 kN-2(3,496 kN) = 73,0 kN. A viga mostrada na Figura 7 .12a é feita com duas tábuas. Determine a tensão de cisalhamento máxima necessária na cola para que ela mantenha as tábuas unidas ao longo da linha de junção. Os apoios em B e C exercem apenas reações verticais na viga. SOLUÇÃO Cisalhamento interno. As reações nos apoios e o diagrama de força cortante para a viga são mostrados na Figura 7.12b. Vemos que o cisalhamento máximo na viga é 19,5 kN. Propriedades da seção. neutro serão determinados pelo O centroide eixo de referência e, portanto, posicionado o eixo 7.12a). na parte inferior da área da seção transversal (Figura Trabalhando em metros, temos - LyA Y == - LA , [0,075 m](0,150 m)(0,030 m) + [0,165 m](0,030 m)(0,150 m) (0,150 m)(0,030 m) + (0,030 m)(0,150 m) "' 0,120 m (d) c Figura 7.11 (b) V"- 1,13 MPa TE' = 1,13 MPa ["", ) B = 22,6 MPa i Te = 25,2 MPa /2 2,6 MPa 0,02 m f----0,300 m _L I .:.:.. J (0,1m-yL =dy 0,1 T m y N l 0,015 m I (e ) I _l A O momento de inércia, calculado em torno do eixo neutro (Figura 7.12a), é, portanto, I = u 2 (0,030 m)(0,150 m)3 + (0,150 m)(0,030 m)(0,120 m - 0,075 m)2] + [ 1 (0,150 m)(0,030 m)3 + (0,030 m)(0,150 m)(0,165 m - 0,120 m)2] = 27,0(10-6) m4 A tábua (aba) superior está presa à que é aplicada na espessura inferior (alma) pela cola, t = 0,03 m. Por consequência, A' Temos é definida como a área da tábua superior (Figura 7.12a). Q = y' A' = [0,180 m 0,015 m-0,120 m](0,03 m)(0,150 m) = 0,2025(10-3) m3 Tensão de dsalhamento. Com os dados obtidos acima e aplicando a fórmula do cisalhamento, obtemos VQ 19,5 kN (0,2025(10-3) m3) T máx = = 6 4 = 4,88 MP a It 27,0(10- ) m (0,030 m) Resposta
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270 RESISTNCIA DOS MATERIAIS<br />
Parte (b). Propri<strong>ed</strong>ades da seção. A tensão de cisalhamento<br />
máxima ocorre no eixo neutro, visto que t é constante<br />
em toda a seção transversal e Q é o maior nesse caso. Para a<br />
área escura A' na Figura 7.10d, temos<br />
Q = Y ' A ' = [ 62,5 2 mm ] (100 mm) (62,5 mm)<br />
= 19,53 mm X 104 mm3<br />
Tensão de cisalhamento. A aplicação da fórmula do cisalhamento<br />
produz<br />
(3 kN)(19,53 X 104 mm3)<br />
(16,28 X 106 mm4)(100 mm)<br />
= 3,60 mm X 10-4 kN/mm2 = 0,360 MPa<br />
Tmáx = VQ =<br />
It<br />
Observe que isso é equivalente a<br />
v 3kN<br />
máx ' A ' (100 mm)(125 mm)<br />
7<br />
= 15- = 15 --<br />
= 3,6 X 10-4 kN/mm2 = 0,36 MPa<br />
mFlU,.<br />
00<br />
"' 0 )/ "tif'4"""o j! " '00\ )1 X<br />
'"' "'"''"'""' 'if -"'* - ::,._"<br />
Resposta<br />
Resposta<br />
Uma viga T de aço tem as dimensões mostradas na Figura<br />
7.11a. Se for submetida a uma força de cisalhamento (força<br />
cortante) V = 80 kN, (a) trace uma curva da distribuição da<br />
tensão de cisalhamento que age na área da seção transversal<br />
da viga e (b) determine a força de cisalhamento à qual a<br />
alma resiste.<br />
SOLUÇÃO<br />
Parte (a). A distribuição da tensão de cisalhamento será<br />
parabólica e variará da maneira mostrada na Figura 7.1lb.<br />
Devido à simetria, somente as tensões de cisalhamento nos<br />
pontos B', B e C devem ser calculadas. Para mostrar como<br />
esses valores são obtidos, em primeiro lugar, determinamos<br />
o momento de inércia da área da seção transversal em torno<br />
do eixo neutro. Trabalhando em metros, temos<br />
I= [ 1 (0,015 m)(0,200 m)3]<br />
+ 2U 2<br />
(0,300 m)(0,02 m)3 + (0,300 m)(0,02 m)(O,llO m?]<br />
= 155,6(10-6) m4<br />
Para o ponto B', t8, = 0,300 m, e A' é a área escura mostrada<br />
na Figura 7.11c.Assim,<br />
Q8 , = f'A' = [0,110 m](0,300 m)(0,02 m) = 0,660(10-3) m3<br />
de modo que<br />
Para o ponto B, t8 = 0,015 m, e Q8 = Q8, (Figura 7.11c). Por<br />
consequência,<br />
Observe, pela discussão sobre as "Limitações ao uso da fórmula<br />
do cisalhamento", que os valores calculados para ambas,<br />
7 8 e 7 8, não serão, na verdade, muito precisos. Por quê?<br />
Para o ponto C, te = 0,015 me A' é a área sombreada escura<br />
mostrada na Figura 7.11d. Considerando que essa área é<br />
composta por dois retângulos, temos<br />
Assim,<br />
Te = 7 máx<br />
=<br />
Qc = 2:y' A' = [0,110 m](0,300 m)(0,02 m)<br />
+ [0,05 m](0,015 m)(0,100 m)<br />
= 0,735(10-3) m3<br />
VQc 80 kN[0,735(10-3) m3]<br />
I te<br />
=<br />
155,6(10-6) m4(0,015 m) = 25 '2 MPa<br />
Parte (b). A força de cisalhamento na alma será determinada<br />
formulando, em primeiro lugar, a tensão de cisalhamento<br />
em uma localização arbitrária y no interior da alma<br />
(Figura 7.1le). Trabalhando em metros, temos<br />
I = 155,6(10-6) m4<br />
t = 0,015 m<br />
A' = (0,300 m)(0,02 m) + (0,015 m)(0,1 m - y)<br />
Q = 2:y' A' = (0,11 m)(0,300 m)(0,02 m)<br />
+ [y + !(0,1 m - y)](0,015m)(0,1 m - y)<br />
= (0,735 - 7,50 yZ)(10-3) m3<br />
de modo que<br />
80 kN(0,735 - 7,50 y2)(1o-3) m3<br />
It (155,6(10-6) m4)(0,015 m)<br />
= (25,193 - 257,07y2) MPa<br />
VQ<br />
7=-=<br />
Essa tensão age na área infinitesimal dA = 0,015 dy mostrada<br />
na Figura 7.11 e, portanto, a força de cisalhamento à qual<br />
a alma resiste é<br />
1 10,1m ,<br />
V.Ima = 7 dA = (25,193 - 257,07y2)(106)(0,015 m) a<br />
Aalma -O,l m<br />
V.1ma = 73,0 kN<br />
R<br />
esposta