Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)
266 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Esse mesmo valor para T máx pode ser obtido diretamente pela fórmula do cisalhamento T = VQ/It, se percebermos que T máx ocorre onde Q é maior, já que V, I e t são constantes. Por inspeção, Q será máximo quando toda a área acima (ou abaixo) do eixo neutro for considerada; isto é, A' = bh/2 e y' = h/4. Assim, VQ V(h/4)(bh/2) V T m á = = = 1,5 x ft [fzbh3]b A Por comparação, T máx é 50% maior que a tensão de cisalhamento média determinada pela Equação 1.7; isto é, r 'd = VIA. É iportante lembrar que, para cada T que age na área da seção transversal na Figura 7.5c, há uma r correspondente que age na direção longitudinal ao longo da viga. Por exemplo, se a viga for secionada por um plano longitudinal que passa por seu eixo neutro, então, como observamos anteriormente, a tensão de cisalhamento máxima age sobre esse plano (Figura 7.5d). É essa tensão que pode provocar a falha em uma viga de madeira, como mostra a Figura 7.6. Nesse caso, a ruptura horizontal da madeira começa a ocorrer no eixo neutro nas extremidades da viga, visto que, nesse local, as reações verticais submetem a viga a uma grande tensão de cisalhamento, e a madeira tem baixa resistência ao cisalhamento ao longo de seus grãos, que são orientados na direção longitudinal. É instrutivo mostrar que, quando a distribuição da tensão de cisalhamento (Equação 7.4) é integrada por toda a seção transversal, dá o cisalhamento resultante V. Para fazer isso, escolhemos uma tira de área diferencial dA = b dy (Figura 7.5c) e, visto que T age uniformemente em toda a tira, temos 1 11112 6V (h2 ) - T dA = -3 __:_ l b dy A -h/2 bh 4 6 [h 2 .!.l]h/2 y - = h 4 3 -h/2 = [ 2 ( + ) -( 3 + 3 ) J = v acabamos de realizar, podemos determinar a distribuição da tensão de cisalhamento que age na seção transversal. Os resultados são mostrados nos diagramas das figuras 7.7b e 7.7c. Como ocorreu na seção transversal retangular, a tensão de cisalhamento varia parabolicamente na altura da viga, já que a seção transversal pode ser tratada como a seção retangular que tem, primeiro, a largura da aba superior, b, então a espessura da alma talma e, novamente, a largura da aba inferior, b. Em particular, observe que a tensão de cisalhamento variará apenas ligeiramente na alma e, também, que ocorre um salto na tensão de cisalhamento na junção aba-alma, visto que a espessura da seção transversal muda nesse ponto ou, em outras palavras, t na fórmula do cisalhamento, muda. Por comparação, a alma suportará uma quantidade significativamente maior da força de cisalhamento do que as abas, o que será ilustrado numericamente no Exemplo 7.2. Abas (b) (a) v Distribuição da tensão de cisalhamento Viga de abas largas. Uma viga de abas largas consiste em duas "abas" (largas) e uma "alma", como mostra a Figura 7.7a. Por uma análise semelhante à que Figura 7.6 Intensidade da distribuição da tensão de cisalhamento (vista lateral) (c) Figura 7.7
CiSALHAMENTO TRANSVERSAL 267 do uso da fórmula do cisalhamento. Uma das premissas mais importantes Limitações utiliadas no desenvolvimento da fórmula do cisalhamento que a tensão de cisalhamento é uniformemente distribuída pela largura t na seção onde a tensão de cisalhamento é determinada. Em outras palavras, a tensão de cisalhamento média é calculada na largura. Podemos testar a precisão dessa premissa comparando-a com uma análise matemática mais exata baseada na teoria da elasticidade. A esse respeito, se a seção transversal da viga for retangular, a distribuição da tensão de cisalhamento verdadeira no eixo neutro, calculada pela teoria da elasticidade, varia como mostra a Figura 7.8. O valor máximo, r' máx' ocorre nas bordas da seção transversal e seu valor depende da razão b!h (largura/ altura). Para seções nas quais b/h = 0,5, r'máxé somente 3% maior que a tensão de cisalhamento calculada pela fórmula do cisalhamento (Figura 7.8a). Contudo, em seções achatadas, para as quais blh = 2, r' máx é aproximadamente 40% maior que r máx (Figura 7.8b). O erro torna-se maior ainda à medida que a seção fica mais achatada, ou à medida que a relação b!h aumenta. Erros dessa ordem são, certamente, inaceitáveis se usarmos a fórmula do cisalhamento para determinar a tensão de cisalhamento na aba de uma viga de abas largas, como já discutimos. É preciso destacar, também, que a fórmula do cisalhamento não dará resultados precisos quando usada para determinar a tensão de cisalhamento na junção aba-alma de uma viga de abas largas, já que esse é um ponto de mudança repentina na seção transversal e,portanto, um lugar onde ocorrerá concentração de tensão. (a) (b) Figura 7.8 Além disso, as regiões internas das abas são bordas livres (Figura 7.7b), e o resultado é que a tensão de cisalhamento nessas bordas deve ser nula. Entretanto, se a fórmula do cisalhamento for aplicada para determinar a tensão de cisalhamento nessas bordas, obteremos um valor r' que não será igual a zero (Figura 7.7c). Felizmente, essas limitações à aplicação da fórmula do cisalhamento às abas de uma viga de abas largas não são importantes na prática da engenharia. Na maioria dos casos, os engenheiros têm de calcular somente a tensão de cisalhamento média máxima que ocorre no eixo neutro onde a razão b/h (largura/altura) é muito pequena e, portanto, o resultado calculado fica muito próximo da tensão de cisalhamento máxima verdadeira, como já explicamos. Outra limitação importante ao uso da fórmula do cisalhamento pode ser ilustrada com referência à Figura 7.9a, que mostra uma viga cuja seção transversal tem um contorno irregular não retangular. Se aplicarmos a fórmula do cisalhamento para determinar a tensão de cisalhamento (média) r ao longo da reta AB, ela terá a direção mostrada na Figura 7.9b. Considere, agora, um elemento do material tomado no ponto B do contorno, tal que uma de suas faces esteja localizada sobre a superfície externa da viga (Figura 7.9c).Aqui, a tensão de cisalhamento r calculada na face frontal do elemento é decomposta nas componentes r' e r". Por inspeção, a componente r' deve ser nula, visto que sua componente longitudinal correspondente r', que age na superfície do contorno livre de tensão, deve ser nula. Portanto, para satisfazer essa condição de contorno, a tensão de cisalhamento que age sobre o elemento no contorno deve ter direção tangente ao contorno. Então, a distribuição da tensão de cisalhamento na reta AB terá a direção mostrada na Figura 7.9d. Devido à maior inclinação das tensões de cisalhamento em A e B, a tensão de cisalhamento máxima ocorrerá nesses pontos. Valores específicos para essa tensão de cisalhamento devem ser obtidos pelos princípios da teoria da elasticidade. Observe, entretanto, que podemos aplicar a fórmula do cisalhamento para obter a tensão de cisalhamento que age em cada uma das retas coloridas na Figura 7 .9a. Aqui, essas retas interceptam as tangentes ao contorno da seção transversal em ângulos retas, e, como mostra a Figura 7.9e, a tensão de cisalhamento transversal é vertical e constante ao longo de cada reta. Resumindo os pontos discutidos, a fórmula do cisalhamento não dá resultados precisos quando aplicada a elementos cujas seções transversais são curtas ou achatadas, ou em pontos onde a seção transversal sofre mudança abrupta. Tampouco deve ser aplicada em uma seção que intercepta o contorno do elemento a um ângulo diferente de 90°. Então, nesses casos, a tensão de cisalhamento deve ser determinada por métodos mais avançados baseados na teoria da elasticidade.
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Esse mesmo valor para T máx pode ser obtido diretamente<br />
pela fórmula do cisalhamento T = VQ/It, se<br />
percebermos que T máx ocorre onde Q é maior, já que<br />
V, I e t são constantes. Por inspeção, Q será máximo<br />
quando toda a área acima (ou abaixo) do eixo neutro<br />
for considerada; isto é, A' = bh/2 e y' = h/4. Assim,<br />
VQ V(h/4)(bh/2) V<br />
T m<br />
á = =<br />
= 1,5 x ft [fzbh3]b A<br />
Por comparação, T máx é 50% maior que a tensão de<br />
cisalhamento média determinada pela Equação 1.7;<br />
isto é, r 'd = VIA.<br />
É iportante lembrar que, para cada T que age na<br />
área da seção transversal na Figura 7.5c, há uma r correspondente<br />
que age na direção longitudinal ao longo<br />
da viga. Por exemplo, se a viga for secionada por um<br />
plano longitudinal que passa por seu eixo neutro, então,<br />
como observamos anteriormente, a tensão de cisalhamento<br />
máxima age sobre esse plano (Figura 7.5d).<br />
É essa tensão que pode provocar a falha em uma viga<br />
de madeira, como mostra a Figura 7.6. Nesse caso, a<br />
ruptura horizontal da madeira começa a ocorrer no<br />
eixo neutro nas extremidades da viga, visto que, nesse<br />
local, as reações verticais submetem a viga a uma grande<br />
tensão de cisalhamento, e a madeira tem baixa resistência<br />
ao cisalhamento ao longo de seus grãos, que<br />
são orientados na direção longitudinal.<br />
É instrutivo mostrar que, quando a distribuição da<br />
tensão de cisalhamento (Equação 7.4) é integrada por<br />
toda a seção transversal, dá o cisalhamento resultante<br />
V. Para fazer isso, escolhemos uma tira de área diferencial<br />
dA = b dy (Figura 7.5c) e, visto que T age uniformemente<br />
em toda a tira, temos<br />
1 11112 6V (h2 )<br />
-<br />
T dA = -3 __:_ l b dy<br />
A -h/2 bh 4<br />
6 [h 2 .!.l]h/2<br />
y -<br />
=<br />
h 4 3 -h/2<br />
= [ 2 ( + ) -( 3 + 3 ) J = v<br />
acabamos de realizar, podemos determinar a distribuição<br />
da tensão de cisalhamento que age na seção transversal.<br />
Os resultados são mostrados nos diagramas das<br />
figuras 7.7b e 7.7c. Como ocorreu na seção transversal<br />
retangular, a tensão de cisalhamento varia parabolicamente<br />
na altura da viga, já que a seção transversal pode<br />
ser tratada como a seção retangular que tem, primeiro,<br />
a largura da aba superior, b, então a espessura da alma<br />
talma e, novamente, a largura da aba inferior, b. Em particular,<br />
observe que a tensão de cisalhamento variará<br />
apenas ligeiramente na alma e, também, que ocorre um<br />
salto na tensão de cisalhamento na junção aba-alma,<br />
visto que a espessura da seção transversal muda nesse<br />
ponto ou, em outras palavras, t na fórmula do cisalhamento,<br />
muda. Por comparação, a alma suportará uma<br />
quantidade significativamente maior da força de cisalhamento<br />
do que as abas, o que será ilustrado numericamente<br />
no Exemplo 7.2.<br />
Abas<br />
(b)<br />
(a)<br />
v<br />
Distribuição da<br />
tensão de<br />
cisalhamento<br />
Viga de abas largas. Uma viga de abas largas<br />
consiste em duas "abas" (largas) e uma "alma", como<br />
mostra a Figura 7.7a. Por uma análise semelhante à que<br />
Figura 7.6<br />
Intensidade da distribuição da<br />
tensão de cisalhamento<br />
(vista lateral)<br />
(c)<br />
Figura 7.7