Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)
Cisalhamento transversal OBJ ETIVOS DO CAPÍTULO Neste capítulo, desenvolveremos um método para determinar a tensão de cisalhamento em uma viga com seção transversal prismática e feita de material homogêneo que se comporta de uma maneira linear elástica. O método de análise a ser desenvolvido ficará limitado a casos especiais de geometria da seção transversal. Apesar disso, é amplamente aplicado em projeto e análise de engenharia. O conceito de fluxo de cisalhamento e o de tensão de cisalhamento serão discutidos para vigas e elementos de paredes finas. O capítulo é finalizado com uma discussão sobre centro de cisalhamento. 7.1 Cisalhamento em elementos retos Na Seção 6.1, mostramos que, em geral, as vigas suportam cargas de cisalhamento e também de momento fietor. O cisalhamento V é o resultado de uma distribuição de tensão de cisalhamento transversal que age na seção transversal da viga (Figura 7.1). Devido à propriedade complementar de cisalhamento, observe que tensões de cisalhamento longitudinais associadas também agirão ao longo dos planos longitudinais da viga. Por exemplo, um elemento retirado de um ponto interno da seção transversal está sujeito a tensões de cisalhamento transversal e longitudinal como mostra a Figura 7 .1. É possível explicar fisicamente por que a tensão de cisalhamento se desenvolve nos planos longitudinais de uma viga considerando que ela é composta por três tábuas (Figura 7.2a). Se as superfícies superior e inferior de cada tábua forem lisas e as tábuas estiverem soltas, a aplicação da carga P fará com que as tábuas Tensão de cisalhamento transversal Tensão de cisalhamento , i longitudinal . I J 7 . *r"' .r"5t Figma 7.1 Tábuas soltas (a) Tábuas unidas (b) Figura 7.2 deslizem uma sobre a outra e, assim, a viga sofrerá a deflexão mostrada na Figura 7.2a. Por outro lado, se as tábuas estiverem unidas, as tensões de cisalhamento longitudinais entre elas impedirão que uma deslize so· bre a outra e, por consequência, a viga agirá como uma unidade única (Figura 7.2b ). Como resultado da tensão de cisalhamento, serão desenvolvidas tensões de deformação que tenderão a distorcer a seção transversal de uma maneira basta te complexa. Para mostrar isso, considere uma barra fetta de um material com alto grau de deformação e :· cado com uma grade de linhas horizontais e vertiCaiS (Figura 7.3a). Quando é aplicado um cisalhamento V. as linhas da grade tendem a se deformar conforme . 0 · · • nao padrão mostrado na Figura 7.3b. Essa distnbmçao - uniforme da deformação por cisalhamento na seçao transversal fará que ela se deforme, isto é, não pertníl· neça plana.
CiSALHAMENTO TRANSVERSAL 263 (a) Antes da deformação (b) Após a deformação Figura 7.3 Lembre-se de que, no desenvolvimento da fórmula da flexão, consideramos que as seções transversais devem permanecer planas e perpendiculares ao eixo longitudinal da viga após a deformação. Embora essa regra seja infringida quando a viga é submetida a cisalhamento e também a flexão, de modo geral, podernos considerar que a distorção da seção transversal descrita anteriormente é pequena o suficiente para ser desprezada. Essa consideração é particularmente verdadeira para o caso mais comum como de uma viga esbelta; isto é, uma viga cuja largura é pequena em comparação com seu comprimento. Nos capítulos anteriores, desenvolvemos as fórmulas da carga axial, da torção e da flexão determinando, em primeiro lugar, a distribuição da deformação com base em premissas referentes à deformação da seção transversal. Entretanto, no caso do cisalhamento transversal, a distribuição da deformação por cisalhamento ao longo da largura de uma viga não pode ser expressa facilmente em termos matemáticos. Por exemplo, ela não é uniforme nem linear para seções transversais retangulares, como já mostramos. Portanto, a análise de tensão de cisalhamento citada será desenvolvida de uma maneira diferente da usada para estudar os carregamentos anteriores. Especificamente, desenvolveremos uma fórmula para a tensão de cisalhamento indiretamente; isto é, usando a fórmula da flexão e a relação entre momento fletor e cisalhamento (V = dM/dx). 7.2 A fórmula do cisalhamento O desenvolvimento de uma relação entre a distribuição da tensão de cisalhamento que age na seção transversal de uma viga e a força de cisalhamento resultante na seção é baseado no estudo da tensão de cisalhamento longitudinal e nos resultados da Equação 6.2, V = dM/dx. Para mostrar como essa relação é definida, consideraremos o equilíbrio da força horizontal de uma porção do elemento retirado da viga na Figura 7.4a e mostrado na Figura 7.4b. A Figura 7.4c apresenta um diagrama de corpo livre do elemento que mostra somente a distribuição de tensão normal que age sobre ele. Essa distribuição é provocada pelos momentos fletores M e M + dM. Excluímos o efeito de V, V + dV e w(x) sobre o diagrama de corpo livre, já que esses carregamentos são verticais e, portanto, não estarão envolvidos no somatório de forças horizontais. Na verdade, o elemento na Figura 7.4c satisfará !,F" = O desde que a distribuição de tensão de cada lado do elemento forme apenas um conjugado e, portanto, uma força resultante nula. Agora, considere o segmento na parte superior do elemento que foi secionado em y ' em relação ao eixo neutro (Figura 7.4b ). Esse segmento tem largura t na seção, e cada um dos lados da seção transversal tem área A'. Como a diferença entre os momentos resultantes em cada lado do elemento é dM, podemos ver na Figura 7.4d que !,F" = O não será satisfeita a menos que uma tensão de cisalhamento longitudinal aja sobre a face inferior do segmento. Na análise que faremos a seguir, consideraremos que essa tensão de cisalhamento seja constante em toda a largura t da face inferior. Ela age na área t dx. Aplicando a equação do equilíbrio da força horizontal e usando a fórmula da flexão (Equação 6.13), temos 2-Fx = O; r cr ' dA' - r crdA' - r(tdx) = O lA' }A' ( d ) L? dA' = r(t dx) (7.1) Resolvendo para r, obtemos r= 1 ( dM ) { y dA' It dx }A' Essa equação pode ser simplificada observando-se que V = dM/dx (Equação 6.2). Além disso, a integral representa o momento de primeira ordem da área A' em torno do eixo neutro que representaremos pelo símbolo Q. Visto que a localização do centroide da área A' é determinada por y' = JA' y dA' IA', também podemos escrever
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Cisalhamento transversal<br />
OBJ ETIVOS DO CAPÍTULO<br />
Neste capítulo, desenvolveremos um método para determinar a tensão de cisalhamento em uma viga com<br />
seção transversal prismática e feita de material homogêneo que se comporta de uma maneira linear elástica.<br />
O método de análise a ser desenvolvido ficará limitado a casos especiais de geometria da seção transversal.<br />
Apesar disso, é amplamente aplicado em projeto e análise de engenharia. O conceito de fluxo de cisalhamento<br />
e o de tensão de cisalhamento serão discutidos para vigas e elementos de par<strong>ed</strong>es finas. O capítulo<br />
é finalizado com uma discussão sobre centro de cisalhamento.<br />
7.1 Cisalhamento em<br />
elementos retos<br />
Na Seção 6.1, mostramos que, em geral, as vigas<br />
suportam cargas de cisalhamento e também de momento<br />
fietor. O cisalhamento V é o resultado de uma<br />
distribuição de tensão de cisalhamento transversal que<br />
age na seção transversal da viga (Figura 7.1). Devido à<br />
propri<strong>ed</strong>ade complementar de cisalhamento, observe<br />
que tensões de cisalhamento longitudinais associadas<br />
também agirão ao longo dos planos longitudinais da<br />
viga. Por exemplo, um elemento retirado de um ponto<br />
interno da seção transversal está sujeito a tensões de<br />
cisalhamento transversal e longitudinal como mostra<br />
a Figura 7 .1.<br />
É possível explicar fisicamente por que a tensão de<br />
cisalhamento se desenvolve nos planos longitudinais<br />
de uma viga considerando que ela é composta por três<br />
tábuas (Figura 7.2a). Se as superfícies superior e inferior<br />
de cada tábua forem lisas e as tábuas estiverem<br />
soltas, a aplicação da carga P fará com que as tábuas<br />
Tensão de cisalhamento<br />
transversal<br />
Tensão de cisalhamento , i<br />
longitudinal .<br />
I J 7<br />
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Figma 7.1<br />
Tábuas soltas<br />
(a)<br />
Tábuas unidas<br />
(b)<br />
Figura 7.2<br />
deslizem uma sobre a outra e, assim, a viga sofrerá a<br />
deflexão mostrada na Figura 7.2a. Por outro lado, se<br />
as tábuas estiverem unidas, as tensões de cisalhamento<br />
longitudinais entre elas imp<strong>ed</strong>irão que uma deslize so·<br />
bre a outra e, por consequência, a viga agirá como uma<br />
unidade única (Figura 7.2b ).<br />
Como resultado da tensão de cisalhamento, serão<br />
desenvolvidas tensões de deformação que tenderão a<br />
distorcer a seção transversal de uma maneira basta te<br />
complexa. Para mostrar isso, considere uma barra fetta<br />
de um material com alto grau de deformação e :·<br />
cado com uma grade de linhas horizontais e vertiCaiS<br />
(Figura 7.3a). Quando é aplicado um cisalhamento V.<br />
as linhas da grade tendem a se deformar conforme .<br />
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transversal fará que ela se deforme, isto é, não pertníl·<br />
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