Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)
250 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS por consequência, o eixo neutro não passará pelo centroide da seção transversal. Para determinar a localização do eixo neutro, d, exige-se que a distribuição de tensão produza uma força resultante nula na seção transversal. Considerando que d :::; 120 mm, temos 250 MPa (0,015 m)(d) - 250 MPa (0,015 m)(0,120 m-d) - 250 MPa (0,015 m)(0,100 m) = O d = 0,110 m < 0,120 m OK Usando esse resultado, as forças que agem em cada segmento são T = 250 MN/m2 (0,015 m)(0,110 m) = 412,5 kN C1 = 250 MN/m2 (0,015 m)(0,010 m) = 37,5 kN C2 = 250 MN/m2 (0,015 m)(0,100 m) = 375 kN Por consequência, o momento plástico resultante em torno do eixo neutro é M = 412 5 kN (0 '110 m) 3 5 kN (0•01 m) p , 2 + 375 kN ( 0,01 m + + 7' 2 O,O m) produzido por essa distribuição de tensão pode ser calcu] 1 d · d " l d bl d etermman o-se o vo ume" os ocos e tensão. Para ist ac 0 subdividiremos essa distribuição em dois blocos triangul ) : res e um bloco retangular na região de tração e também . região de compressão (Figura 6.58d). Visto que a viga t;1 2 cm de largura, as resultantes e suas localizações são de te._ 1 minadas da seguinte maneira: 1 T1 = C1 = 2 (12 mm)(280 N/mm2)(20 mm) = 33.600 N = 33,6kN y1 = 0,3 cm + (1,2 cm) = 1,10 cm = 11,0 mm 3 T2 = C2 = (12 mm)(1.050 N/mm 2)(20 mm) = 25.200 N = 252 kN y 2 = 0,3 cm + .!_ (1,2 cm) = 0,90 cm = 9 mm 2 T 3 = C 3 = .!.(3 mm)(1.050 N/mm2)(20 mm) = 31.500 N . 2 = 31,5 kN 2 y 3 = 3 (0,3 cm) = 0,2 cm = 2 mm MP = 29,4kN· m Resposta O momento produzido por essa distribuição de tensão normal em torno do eixo neutro é, portanto, M = 2[33,6 kN (110 mm) + 252 kN (9 mm) + 31,5 kN (2 mm)l = 5.401,2 kN ·mm= 5,40 kN · m Resposta A viga na Figura 6.58a é feita de uma liga de titânio cujo diagrama tensão-deformação pode ser aproximado, em parte, por duas retas. Se o comportamento do material for o mesmo sob tração e sob compressão, determine o momento fietor que pode ser aplicado à viga e que fará com que o material, nas partes superior e inferior da viga, seja submetido a uma deformação de 0,050 mm/mm. SOLUÇÃO I Examinando o diagrama tensão-deformação, podemos dizer que o material exibe comportamento "elástico-plástico com encruamento". Visto que a seção transversal é simétrica e os diagramas u-E de tração e compressão são iguais, o eixo neutro deve passar pelo centroide da seção transversal. A distribuição de deformação, que é sempre linear, é mostrada na Figura 6.58b. Em particular, o ponto onde ocorre a deformação elástica máxima (0,010 mm/mm) foi determinado por cálculo proporcional, tal que 0,05/1,5 cm = 0,010/y ou y = 0,3 cm = 3 mm. A distribuição de tensão normal correspondente que age na seção transversal é mostrada na Figura 6.58c. O momento SOLUÇÃO 11 Em vez de usar essa técnica parcialmente gráfica, também é possível calcular o momento analiticamente. Para tanto, precisamos expressar a distribuição de tensão na Figura 6.58c em função da posição y ao longo da viga. Observe que u = f(E) foi dada na Figura 6.58a. Além disso, pela Figura 6.58b, a deformação normal pode ser determinada em função da posição y por cálculo proporcional de triângulos; isto é, 0,05 1,5 E = --y O :s; y :s; 1,5 cm = 15 mm Substituindo esse resultado nas funções u-E mostradas na Figura 6.58a, obtemos u = 350y O :::; y :::; 0,3 cm = 3 mm (I) u = 23,33y + 980 3 cm :::; y :::; 1,5 cm = 15 mm Pela Figura 6.58e, o momento provocado por (J' qw: age na tira de área dA = 2 dy é dM = y(u dA) = yu(2 dy) (Z)
FLEXÃO 251 >Ee), como mostra o ponto B da curva fJ'-E na Figura 6.59b, então a remoção desse momento fará o material recuperar parte dessa deformação elasticamente segundo a trajetória BC indicada pela reta tracejada. Uma vez que essa recuperação é elástica, podemos sobrepor à distribuição de tensão mostrada na Figura 6.59c uma distribuição de tensão linear provocada pela aplicação do momento plástico na direção oposta (Figura 6.59d). Aqui, a tensão máxima, que é denominada módulo de ruptura por flexão, fT r' pode ser determinada pela fórmula da flexão quando a viga está carregada com o momento plástico. Temos e
- Page 216 and 217: 200 RESISTÉ':NCIA DOS MATERIAIS 6.
- Page 218 and 219: 202 RESISTNCIA DOS MATERIAIS y (a)
- Page 220 and 221: 204 RESISTNCIA DOS MATERIAIS y Vari
- Page 222 and 223: •• • 206 RESISTÊNCIA DOS MAT
- Page 224 and 225: 208 RESISTNCIA DOS MATERIAIS A viga
- Page 226 and 227: 21 Ü RESISTtNCIA DOS MATERIAIS 6.4
- Page 228 and 229: 212 RESISTNCIA DOS MATERIAIS 125 75
- Page 230 and 231: • 214 RESISTNCIA DOS MATERIAIS pi
- Page 232 and 233: 216 RESISTNCIA DOS MATERIAIS 6.5 Fl
- Page 234 and 235: 218 RESISTi!:NCIA DOS MATERIAIS y y
- Page 236 and 237: 220 RESISTÉ':NCIA DOS MATERIAIS Pr
- Page 238 and 239: 222 RESISTÉÕNCIA DOS MATERIAIS z
- Page 240 and 241: 224 RESISTÍ:NCIA DOS MATERIAIS in
- Page 242 and 243: 226 RESISTNCIA DOS MATERIAIS y X (a
- Page 244 and 245: 228 RESISTtNCIA DOS MATERIAIS - 2:-
- Page 246 and 247: 230 RESISTNCIA DOS MATERIAIS é esc
- Page 248 and 249: 232 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Cent
- Page 250 and 251: 234 RESISTNCIA DOS MATERIAIS são r
- Page 252 and 253: o 236 RESISTNCIA DOS MATERIAIS 4kN
- Page 254 and 255: 238 RESISTNCIA DOS MATERIAIS Como o
- Page 256 and 257: 240 RESISTNCIA DOS MATERIAIS gura.
- Page 258 and 259: 242 RESISTNCIA DOS MATERIAIS *6.140
- Page 260 and 261: · •· 244 RESISTí':NCIA DOS MAT
- Page 262 and 263: 246 RESISTtoNCIA DOS MATERIAIS É c
- Page 264 and 265: 248 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Loca
- Page 268 and 269: 252 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS (\.
- Page 270 and 271: 254 RESISTNCIA DOS MATERIAIS mento
- Page 272 and 273: 256 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS p 50
- Page 274 and 275: 258 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Um m
- Page 276 and 277: 260 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS '6.1
- Page 278 and 279: Cisalhamento transversal OBJ ETIVOS
- Page 280 and 281: 264 RESISTNCIA DOS MATERIAIS 'i.F,
- Page 282 and 283: 266 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Esse
- Page 284 and 285: 268 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Supe
- Page 286 and 287: 270 RESISTNCIA DOS MATERIAIS Parte
- Page 288 and 289: 272 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 26 k
- Page 290 and 291: 27 4 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS "7.
- Page 292 and 293: 27 6 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 7.3
- Page 294 and 295: 278 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS A ap
- Page 296 and 297: 280 RESISTtNCIA DOS MATERIAIS V (N)
- Page 298 and 299: .. 282 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS "
- Page 300 and 301: 284 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS {1.1
- Page 302 and 303: 286 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS t J
- Page 304 and 305: 288 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ao l
- Page 306 and 307: I'< 290 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
- Page 308 and 309: 292 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Dete
- Page 310 and 311: 294 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 7.66
- Page 312 and 313: 296 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS p Pr
- Page 314 and 315: .. 298 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
250 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS<br />
por consequência, o eixo neutro não passará pelo centroide<br />
da seção transversal. Para determinar a localização do eixo<br />
neutro, d, exige-se que a distribuição de tensão produza uma<br />
força resultante nula na seção transversal. Considerando que<br />
d :::; 120 mm, temos<br />
250 MPa (0,015 m)(d) - 250 MPa (0,015 m)(0,120 m-d)<br />
- 250 MPa (0,015 m)(0,100 m) = O<br />
d = 0,110 m < 0,120 m OK<br />
Usando esse resultado, as forças que agem em cada segmento<br />
são<br />
T = 250 MN/m2 (0,015 m)(0,110 m) = 412,5 kN<br />
C1 = 250 MN/m2 (0,015 m)(0,010 m) = 37,5 kN<br />
C2 = 250 MN/m2 (0,015 m)(0,100 m) = 375 kN<br />
Por consequência, o momento plástico resultante em torno<br />
do eixo neutro é<br />
M = 412 5 kN (0 '110 m) 3 5 kN<br />
(0•01 m)<br />
p ,<br />
2<br />
+ 375 kN ( 0,01 m +<br />
+ 7' 2<br />
O,O m)<br />
produzido por essa distribuição de tensão pode ser calcu] 1<br />
d · d " l d bl d<br />
etermman o-se o vo ume" os ocos e tensão. Para ist<br />
ac 0<br />
subdividiremos essa distribuição em dois blocos triangul ) :<br />
res e um bloco retangular na região de tração e também .<br />
região de compressão (Figura 6.58d). Visto que a viga t;1<br />
2 cm de largura, as resultantes e suas localizações são de te._ 1<br />
minadas da seguinte maneira:<br />
1<br />
T1 = C1 = 2 (12 mm)(280 N/mm2)(20 mm) = 33.600 N<br />
= 33,6kN<br />
y1 = 0,3 cm + (1,2 cm) = 1,10 cm = 11,0 mm<br />
3<br />
T2 = C2 = (12 mm)(1.050 N/mm 2)(20 mm) = 25.200 N<br />
= 252 kN<br />
y 2 = 0,3 cm + .!_ (1,2 cm) = 0,90 cm = 9 mm<br />
2<br />
T 3 = C 3 = .!.(3 mm)(1.050 N/mm2)(20 mm) = 31.500 N .<br />
2<br />
= 31,5 kN<br />
2 y 3 = 3 (0,3 cm) = 0,2 cm = 2 mm<br />
MP = 29,4kN· m<br />
Resposta<br />
O momento produzido por essa distribuição de tensão normal<br />
em torno do eixo neutro é, portanto,<br />
M = 2[33,6 kN (110 mm) + 252 kN (9 mm) + 31,5 kN (2 mm)l<br />
= 5.401,2 kN ·mm= 5,40 kN · m Resposta<br />
A viga na Figura 6.58a é feita de uma liga de titânio<br />
cujo diagrama tensão-deformação pode ser aproximado,<br />
em parte, por duas retas. Se o comportamento do material<br />
for o mesmo sob tração e sob compressão, determine o momento<br />
fietor que pode ser aplicado à viga e que fará com<br />
que o material, nas partes superior e inferior da viga, seja<br />
submetido a uma deformação de 0,050 mm/mm.<br />
SOLUÇÃO I<br />
Examinando o diagrama tensão-deformação, podemos dizer<br />
que o material exibe comportamento "elástico-plástico com<br />
encruamento". Visto que a seção transversal é simétrica e<br />
os diagramas u-E de tração e compressão são iguais, o eixo<br />
neutro deve passar pelo centroide da seção transversal. A<br />
distribuição de deformação, que é sempre linear, é mostrada<br />
na Figura 6.58b. Em particular, o ponto onde ocorre a deformação<br />
elástica máxima (0,010 mm/mm) foi determinado<br />
por cálculo proporcional, tal que 0,05/1,5 cm = 0,010/y ou<br />
y = 0,3 cm = 3 mm.<br />
A distribuição de tensão normal correspondente que age<br />
na seção transversal é mostrada na Figura 6.58c. O momento<br />
SOLUÇÃO 11<br />
Em vez de usar essa técnica parcialmente gráfica, também<br />
é possível calcular o momento analiticamente. Para tanto,<br />
precisamos expressar a distribuição de tensão na Figura<br />
6.58c em função da posição y ao longo da viga. Observe que<br />
u = f(E) foi dada na Figura 6.58a. Além disso, pela Figura<br />
6.58b, a deformação normal pode ser determinada em função<br />
da posição y por cálculo proporcional de triângulos; isto é,<br />
0,05<br />
1,5<br />
E = --y<br />
O :s; y :s; 1,5 cm = 15 mm<br />
Substituindo esse resultado nas funções u-E mostradas na<br />
Figura 6.58a, obtemos<br />
u = 350y O :::; y :::; 0,3 cm = 3 mm (I)<br />
u = 23,33y + 980<br />
3 cm :::; y :::; 1,5 cm = 15 mm<br />
Pela Figura 6.58e, o momento provocado por (J' qw:<br />
age na tira de área dA = 2 dy é<br />
dM = y(u dA) = yu(2 dy)<br />
(Z)