Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

FLEXÃO 217
y
y
y
y
z
X
z
X
(a)
(b) (c) (d)
Figura 6.33
também será linear, de modo que cr = -(y/c) crm:íx
(Figura 6.32c ). Quando essa equação é substituída na
Equação 6.16 e integrada, resulta na fórmula da flexão
O'
máx = Me/I. Quando substituída na Equação 6.15, ob-
temos
que exige
O= -cr m á x1 yz dA
C A
Essa integral é denominada produto de inércia
para a área. Como indicado no Apêndice A, ela realmente
será nula desde que os eixos y e z sejam escolhidos
como os eixos principais de inércia para a área.
Para uma área de forma qualquer, a orientação dos
eixos principais pode ser determinada pelas equações
de transformação de inércia ou pelo círculo de Mohr
de inércia, como mostrado no Apêndice A, Seções A.4
e A.S. Entretanto, se a área tiver um eixo de simetria,
é fácil definir os eixos principais visto que eles sempre
estarão orientados ao longo do eixo de simetria e perpendiculares
a ele.
Então, resumindo, as equações 6.14 a 6.16 sempre
serão satisfeitas independentemente da direção do
momento aplicado M. Por exemplo, considere os elementos
mostrados na Figura 6.33. Em cada um desses
casos, y e z definem os eixos principais de inércia para
a seção transversal cuja origem está localizada no
centroide da área. Nas figuras 6.33a e 6.33b, os eixos
principais são localizados por simetria, e nas figuras
6.33c e 6.33d, a orientação dos eixos é determinada
pelos métodos apresentados no Apêndice A. Visto
que M é aplicado em torno de um dos eixos principais
(eixo z), a distribuição de tensão é determinada pela
fórmula da flexão, cr = M/Iz, e é mostrada na figura
para cada caso.
Momento aplicado arbitrariamente. Às
vezes, um elemento pode ser carregado de tal modo
que o momento interno resultante não aja em torno
de um dos eixos principais da seção transversal. Quando
isso ocorre, em primeiro lugar, o momento deve ser
decomposto em componentes dirigidas ao longo dos
eixos principais. Então, a fórmula da flexão pode ser
usada para determinar a tensão normal provocada por
cada componente do momento. Por fim, usando o princípio
da superposição, a tensão normal resultante no
ponto pode ser determinada.
Para tal, considere que a viga tenha seção transversal
retangular e está sujeita ao momento M (Figura
6.34a). Aqui, M forma um ângulo () com o eixo
principal z. Consideraremos que () é positivo quando
estiver direcionado do eixo + z para o eixo + y, como
mostra a figura. Decompondo M em componentes ao
longo dos eixos z e y, temos M z = M cos () e M Y = M
sen (), respectivamente. Cada uma dessas componentes
é mostrada separadamente na seção transversal nas
figuras 6.34b e 6.34c. As distribuições de tensão normal
que produzem M e suas componentes Mz e M Y
são
mostradas nas figuras 6.34d, 6.34e e 6.34f, respectivamente.
Aqui, consideramos que (cr)máx > (cr')máx' Por
inspeção, as tensões de tração e compressão máximas
[(uJmáx + (u'Jm:íJ ocorrem em dois cantos opostos da
seção transversal (Figura 6.34d).
Aplicando a fórmula da flexão a cada componente
do momento nas figuras 6.34b e 6.34c, podemos expressar
a tensão normal resultante em qualquer ponto
na seção transversal (Figura 6.34d), em termos gerais,
como
(6.17)