Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)
216 RESISTNCIA DOS MATERIAIS 6.5 Flexão assimétrica Quando desenvolvemos a fórmula da flexão, impusemos a condição de que a área da seção transversal fosse simétrica em torno de um eixo perpendicular ao eixo neutro e também que o momento interno resultante M agisse ao longo do eixo neutro. É isso o que ocorre nas seções em T ou em U, mostradas na Figura 6.31. Porém, essas condições são desnecessárias, e, nesta seção, mostraremos que a fórmula da flexão também pode ser aplicada tanto a uma viga com área de seção transversal de qualquer formato, como a uma viga com momento interno resultante que aja em qualquer direção. Momento aplicado ao longo do eixo princi paI. Considere que a seção transversal da viga tem a forma assimétrica mostrada na Figura 6.32a. Como na Seção 6.4, o sistema de coordenadas x, y, z orientado para a direita é definido de modo tal que a origem esteja localizada no centroide C da seção transversal e o momento interno resultante M aja ao longo do eixo +z.A distribuição de tensão que age sobre toda a área da seção transversal deve ter força resultante nula, momento interno resultante em torno do eixo y nulo e momento interno resultante em torno do eixo z igual a M.* Estas três condições podem ser expressas matematicamente considerando-se a força que age sobre o elemento diferencial dA localizado em (O, y, z) (Figura 6.32a). Essa força é dF = udA e, portanto, temos O= -1 udA (6.14) O= 1 zu dA (6.15) z y Eixo de simetria neutro y Eixo de simetria Figura 6.31 y (a) y M = 1 -yudA (6.16) Como mostrado na Seção 6.4, a Equação 6.14 é satisfeita desde que o eixo z passe pelo centroide da área da seção transversal. Além disso, visto que o eixo z representa o eixo neutro para a seção transversal, a deformação normal variará de zero no eixo neutro a máxima em um ponto y localizado à maior distância y = c do eixo neutro (Figura 6.32b ). Contanto que o material se comporte de maneira linear elástica, a distribuição de tensão normal na área da seção transversal Distribuição de deformação normal (vista lateral) (b) * A condição de que os momentos em torno do eixo y sejam nulos não foi considerada na Seção 6.4, visto que a distribuição da tensão de flexão era simétrica em relação ao eixo y e tal distribuição de tensão produz automaticamente momento nulo em torno do eixo y . Veja a Figura 6.26c. Distribuição da tensão de flexão (vista lateral) (c) Figura 6.32
FLEXÃO 217 y y y y z X z X (a) (b) (c) (d) Figura 6.33 também será linear, de modo que cr = -(y/c) crm:íx (Figura 6.32c ). Quando essa equação é substituída na Equação 6.16 e integrada, resulta na fórmula da flexão O' máx = Me/I. Quando substituída na Equação 6.15, ob- temos que exige O= -cr m á x1 yz dA C A Essa integral é denominada produto de inércia para a área. Como indicado no Apêndice A, ela realmente será nula desde que os eixos y e z sejam escolhidos como os eixos principais de inércia para a área. Para uma área de forma qualquer, a orientação dos eixos principais pode ser determinada pelas equações de transformação de inércia ou pelo círculo de Mohr de inércia, como mostrado no Apêndice A, Seções A.4 e A.S. Entretanto, se a área tiver um eixo de simetria, é fácil definir os eixos principais visto que eles sempre estarão orientados ao longo do eixo de simetria e perpendiculares a ele. Então, resumindo, as equações 6.14 a 6.16 sempre serão satisfeitas independentemente da direção do momento aplicado M. Por exemplo, considere os elementos mostrados na Figura 6.33. Em cada um desses casos, y e z definem os eixos principais de inércia para a seção transversal cuja origem está localizada no centroide da área. Nas figuras 6.33a e 6.33b, os eixos principais são localizados por simetria, e nas figuras 6.33c e 6.33d, a orientação dos eixos é determinada pelos métodos apresentados no Apêndice A. Visto que M é aplicado em torno de um dos eixos principais (eixo z), a distribuição de tensão é determinada pela fórmula da flexão, cr = M/Iz, e é mostrada na figura para cada caso. Momento aplicado arbitrariamente. Às vezes, um elemento pode ser carregado de tal modo que o momento interno resultante não aja em torno de um dos eixos principais da seção transversal. Quando isso ocorre, em primeiro lugar, o momento deve ser decomposto em componentes dirigidas ao longo dos eixos principais. Então, a fórmula da flexão pode ser usada para determinar a tensão normal provocada por cada componente do momento. Por fim, usando o princípio da superposição, a tensão normal resultante no ponto pode ser determinada. Para tal, considere que a viga tenha seção transversal retangular e está sujeita ao momento M (Figura 6.34a). Aqui, M forma um ângulo () com o eixo principal z. Consideraremos que () é positivo quando estiver direcionado do eixo + z para o eixo + y, como mostra a figura. Decompondo M em componentes ao longo dos eixos z e y, temos M z = M cos () e M Y = M sen (), respectivamente. Cada uma dessas componentes é mostrada separadamente na seção transversal nas figuras 6.34b e 6.34c. As distribuições de tensão normal que produzem M e suas componentes Mz e M Y são mostradas nas figuras 6.34d, 6.34e e 6.34f, respectivamente. Aqui, consideramos que (cr)máx > (cr')máx' Por inspeção, as tensões de tração e compressão máximas [(uJmáx + (u'Jm:íJ ocorrem em dois cantos opostos da seção transversal (Figura 6.34d). Aplicando a fórmula da flexão a cada componente do momento nas figuras 6.34b e 6.34c, podemos expressar a tensão normal resultante em qualquer ponto na seção transversal (Figura 6.34d), em termos gerais, como (6.17)
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6.5 Flexão assimétrica<br />
Quando desenvolvemos a fórmula da flexão, impusemos<br />
a condição de que a área da seção transversal<br />
fosse simétrica em torno de um eixo perpendicular ao<br />
eixo neutro e também que o momento interno resultante<br />
M agisse ao longo do eixo neutro. É isso o que ocorre<br />
nas seções em T ou em U, mostradas na Figura 6.31. Porém,<br />
essas condições são desnecessárias, e, nesta seção,<br />
mostraremos que a fórmula da flexão também pode ser<br />
aplicada tanto a uma viga com área de seção transversal<br />
de qualquer formato, como a uma viga com momento<br />
interno resultante que aja em qualquer direção.<br />
Momento aplicado ao longo do eixo princi<br />
paI.<br />
Considere que a seção transversal da viga tem<br />
a forma assimétrica mostrada na Figura 6.32a. Como<br />
na Seção 6.4, o sistema de coordenadas x, y, z orientado<br />
para a direita é definido de modo tal que a origem<br />
esteja localizada no centroide C da seção transversal e<br />
o momento interno resultante M aja ao longo do eixo<br />
+z.A distribuição de tensão que age sobre toda a área<br />
da seção transversal deve ter força resultante nula,<br />
momento interno resultante em torno do eixo y nulo e<br />
momento interno resultante em torno do eixo z igual<br />
a M.* Estas três condições podem ser expressas matematicamente<br />
considerando-se a força que age sobre o<br />
elemento diferencial dA localizado em (O, y, z) (Figura<br />
6.32a). Essa força é dF = udA e, portanto, temos<br />
O= -1 udA (6.14)<br />
O= 1 zu dA (6.15)<br />
z<br />
y<br />
Eixo de simetria<br />
neutro<br />
y<br />
Eixo de simetria<br />
Figura 6.31<br />
y<br />
(a)<br />
y<br />
M = 1 -yudA (6.16)<br />
Como mostrado na Seção 6.4, a Equação 6.14 é<br />
satisfeita desde que o eixo z passe pelo centroide da<br />
área da seção transversal. Além disso, visto que o eixo<br />
z representa o eixo neutro para a seção transversal, a<br />
deformação normal variará de zero no eixo neutro a<br />
máxima em um ponto y localizado à maior distância<br />
y = c do eixo neutro (Figura 6.32b ). Contanto que o<br />
material se comporte de maneira linear elástica, a distribuição<br />
de tensão normal na área da seção transversal<br />
Distribuição de deformação normal<br />
(vista lateral)<br />
(b)<br />
* A condição de que os momentos em torno do eixo y sejam nulos<br />
não foi considerada na Seção 6.4, visto que a distribuição da tensão<br />
de flexão era simétrica em relação ao eixo y e tal distribuição<br />
de tensão produz automaticamente momento nulo em torno do<br />
eixo y . Veja a Figura 6.26c.<br />
Distribuição da tensão de flexão<br />
(vista lateral)<br />
(c)<br />
Figura 6.32