Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)
•• • 206 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Tensão normal • Especifique a distância y, medida perpendicularmente ao eixo neutro, até o ponto onde a tensão normal deve ser determinada. Então, aplique a equação cr = -My!I. Porém, se quiser calcular a tensão de flexão máxima, use cr máx = Me/I. Ao substituir os dados, não se esqueça de verificar se as unidades de medida são consistentes. • A tensão age em uma direção tal que a força que ela cria no ponto contribui para o momento em torno do eixo neutro que está na mesma direção do momento interno M (Figura 6.26c ) . Desse modo, podemos representar a distribuição de tensão que age sobre toda a seção transversal ou isolar um elemento de volume do material e usá-lo para fazer uma representação gráfica da tensão normal que age no ponto. "" - "' "" qeu .n " "' - a ""' A viga tem seção transversal retangular e está sujeita à distribuição de tensão mostrada na Figura 6.27 a. Determine o momento interno M na seção provocado pela distribuição de tensão (a) pela fórmula da flexão e (b) pela determinação da resultante da distribuição de tensão pelos princípios básicos. SOLUÇÃO Parte (a). A fórmula da flexão é CT máx = Me/I. Pela Figura 6.27a, c = 60 mm e cr máx = 20 MPa. O eixo neutro é definido como a reta NA, porque a tensão é nula ao longo dessa reta. Visto que a seção transversal tem forma retangular, o momento de inércia para a área em torno de NA é determinado pela fórmula para um retângulo dada no final deste livro; isto é, Portanto, M = 288(104) N · mm-= 2,88 kN · m M(60 mm) 864(104) mm4 Resposta Parte (b). Em primeiro lugar, mostraremos que a forçaresultante da distribuição de tensão é nula. Como mostrado na Figura 6.27b, a tensão que age sobre um elemento arbitrário dA = (60 mm) dy, localizada à distância y do eixo neutro, é cr = (-=L )c2o N/mm 2 ) 60 mm A força criada por essa tensão é dF = crdA e, portanto, para a seção transversal inteira, FR = J cr dA = J +6 0 mm [( -=L )(20 N/mm 2 )] (60 mm) dy A -60 mm 60 mm 1 +6 0 mm =(-10 N/mm 2 )/ -60 mm =O O momento resultante da distribuição de tensão em torno do eixo neutro (eixo z) deve ser igual a M. Visto que o valor do momento de dF em torno desse eixo é dM = y dF, e dM é sempre positivo (Figura 6.27b ), então, para a área inteira, M = J y dF = J +6 0 mm y[(- y -)(20 N/mm 2 )] (60 mm) dy A -60 mm 60 mm = [e 3 ° Njmm 2 )l][= = 288(104) N · mm = 2,88 kN · m Resposta Esse resultado também pode ser determinado sem a necessidade da integração. A força resultante para cada uma das duas distribuições de tensão triangulares na Figura 6.27c é graficamente equivalente ao volume contido no interior de cada distribuição de tensão. Assim, cada volume é 1 F = -(60 mm)(20 N/mm 2 )(60 mm) = 36(103) N = 36 kN 2 Essas forças, que formam um conjugado, agem na mesma direção das tensões no interior de cada distribuição (Figura 6.27c). Além do mais, agem passando pelo centroide de ! '( 20 MPa N , \ A 20 MPa Figura 6.27 (c)
FLEXÃO 207 cada volume, isto é, 113 ( 60 mm) = 20 mm em relação à parte superior e à parte inferior da viga. Por consequência, a dis conjugado é, portanto, tância entre elas é 80 mm, como mostrado. O momento do M = 36 kN (80 mm) = 2.880 kN ·mm = 2,88 kN · m Resposta A viga simplesmente apoiada na Figura 6.28a tem a área de seção transversal mostrada na Figura 6.28b. Determine a tensão de flexão máxima absoluta na viga e represente a distribuição de tensão na seção transversal nessa localização. SOLUÇÃO Momento interno máximo. O momento interno máximo na viga, M = 22,5 kN · m, ocorre no centro, como mostra o diagrama de momento fletor (Figura 6.28c). Veja o Exemplo 6.3. Propriedade da seção. Por razões de simetria, o centroide C e, portanto, o eixo neutro, passa a meia altura da viga (Figura 6.28b). A área é subdividida nas três partes mostradas, e o momento de inércia de cada parte é calculado em torno do eixo neu- 1+---3 m ----1 1+---6 m ---1 20 m l_L_ ,----, N "]1= c ' (a) l;O i mm 20mm 150mm L__ 20-r-1. m ::r_ 250mm (b) _) ___ _l_ I D 3 6 ------------- x (m) (c) A tro usando o teorema dos eixos paralelos. (Veja EquaçãoA.5 no Apêndice A.) Como optamos por trabalhar em metros, temos I = 2.(1 + Ad2) = 2[ 1 (0,25 m)(0,020 m)3 + (0,25 m)(0,020 m)(0,160 m)2 J + [ 1 1 2 (0,020m)(0,300m)3] = 301,3(10-6) m4 Tensão de flexão. Aplicando a fórmula da flexão, para c = 170 mm, a tensão de flexão máxima absoluta é 22,5 kN · m(0,170 m) Umáx = = 301,3(10_6) m4 12,7 MPa Resposta A Figura 6.28d mostra vistas bidimensionais e tridimensionais da distribuição de tensão. Observe como a tensão em cada ponto na seção transversal desenvolve uma força que contribui para o momento dM em torno do eixo neutro de tal modo que tenha a mesma direção que M. Especificamente, no ponto B, y 8 = 150 mm e, portanto, M ys us = --; u = B 22,5 kN · m(0,150 m) = 112MPa 301,3(10-6) m4 ' A tensão normal que age sobre os elementos do material localizados nos pontos B e D é mostrada na Figura 6.28e. (d) 12,7 MPa 12,7 M l1,2MPa B 11,2 MPa D 12,7 MPa Figura 6.28 (e) = 22,5 kN·m
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Tensão normal<br />
• Especifique a distância y, m<strong>ed</strong>ida perpendicularmente ao eixo neutro, até o ponto onde a tensão normal deve ser determinada.<br />
Então, aplique a equação cr = -My!I. Porém, se quiser calcular a tensão de flexão máxima, use cr máx = Me/I.<br />
Ao substituir os dados, não se esqueça de verificar se as unidades de m<strong>ed</strong>ida são consistentes.<br />
• A tensão age em uma direção tal que a força que ela cria no ponto contribui para o momento em torno do eixo<br />
neutro que está na mesma direção do momento interno M (Figura 6.26c ) . Desse modo, podemos representar a distribuição<br />
de tensão que age sobre toda a seção transversal ou isolar um elemento de volume do material e usá-lo para<br />
fazer uma representação gráfica da tensão normal que age no ponto.<br />
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A viga tem seção transversal retangular e está sujeita à<br />
distribuição de tensão mostrada na Figura 6.27 a. Determine o<br />
momento interno M na seção provocado pela distribuição de<br />
tensão (a) pela fórmula da flexão e (b) pela determinação da<br />
resultante da distribuição de tensão pelos princípios básicos.<br />
SOLUÇÃO<br />
Parte (a). A fórmula da flexão é CT máx = Me/I. Pela Figura<br />
6.27a, c = 60 mm e cr máx = 20 MPa. O eixo neutro é definido<br />
como a reta NA, porque a tensão é nula ao longo dessa reta.<br />
Visto que a seção transversal tem forma retangular, o momento<br />
de inércia para a área em torno de NA é determinado pela<br />
fórmula para um retângulo dada no final deste livro; isto é,<br />
Portanto,<br />
M = 288(104) N · mm-= 2,88 kN · m<br />
M(60 mm)<br />
864(104) mm4<br />
Resposta<br />
Parte (b). Em primeiro lugar, mostraremos que a forçaresultante<br />
da distribuição de tensão é nula. Como mostrado na<br />
Figura 6.27b, a tensão que age sobre um elemento arbitrário<br />
dA = (60 mm) dy, localizada à distância y do eixo neutro, é<br />
cr = (-=L )c2o N/mm 2 )<br />
60 mm<br />
A força criada por essa tensão é dF = crdA e, portanto, para<br />
a seção transversal inteira,<br />
FR = J cr dA = J +6 0 mm<br />
[( -=L )(20 N/mm 2 )] (60 mm) dy<br />
A -60 mm 60 mm<br />
1 +6 0 mm<br />
=(-10 N/mm 2 )/<br />
-60 mm<br />
=O<br />
O momento resultante da distribuição de tensão em torno<br />
do eixo neutro (eixo z) deve ser igual a M. Visto que o valor<br />
do momento de dF em torno desse eixo é dM = y dF, e dM é<br />
sempre positivo (Figura 6.27b ), então, para a área inteira,<br />
M = J y dF = J +6 0 mm y[(- y -)(20 N/mm 2 )] (60 mm) dy<br />
A -60 mm 60 mm<br />
= [e 3<br />
° Njmm 2 )l][=<br />
= 288(104) N · mm = 2,88 kN · m Resposta<br />
Esse resultado também pode ser determinado sem a necessidade<br />
da integração. A força resultante para cada uma<br />
das duas distribuições de tensão triangulares na Figura 6.27c<br />
é graficamente equivalente ao volume contido no interior de<br />
cada distribuição de tensão. Assim, cada volume é<br />
1<br />
F = -(60 mm)(20 N/mm 2 )(60 mm) = 36(103) N = 36 kN<br />
2<br />
Essas forças, que formam um conjugado, agem na mesma<br />
direção das tensões no interior de cada distribuição (Figura<br />
6.27c). Além do mais, agem passando pelo centroide de<br />
!<br />
'(<br />
20 MPa<br />
N<br />
,<br />
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Figura 6.27<br />
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