Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)
204 RESISTNCIA DOS MATERIAIS y Variação da deformação normal (vista lateral) Variação da tensão de flexão (vista lateral) Variação da tensão de flexão (a) (b) (c) Figura 6.26 variação linear da tensão nonnal (Figura 6.26b ). Logo, assim como a variação da deformação normal, cr variará de zero no eixo neutro do elemento até um valor máximo, cr máx , à distância c mais afastada do eixo neutro. Pela pro- porcionalidade de triângulos (Figura 6.26b) ou pela lei de Hooke, cr = EE, e, pela Equação 6.8, podemos escrever (6.9) Essa equação representa a distribuição de tensão na área da seção transversal. Aqui, a convenção de sinal definida é significativa. ParaM positivo, que age na direção +z, valores positivos de y dão valores negativos para cr, isto é, uma tensão de compressão, visto que age na direção x negativa. De maneira semelhante, valores negativos de y darão valores positivos ou de tração para cr. Se um elemento de volume de material for selecionado em um ponto específico na seção transversal, somente essas tensões normais de tração ou de compressão agirão sobre ele. Por exemplo, o elemento localizado em +y é mostrado na Figura 6.26c. Podemos localizar a posição do eixo neutro na seção transversal satisfazendo a condição de que a força resultante produzida pela distribuição de tensão na área da seção transversal deve ser nula. Observando que a força dF = crdA age sobre o elemento arbitrário dA na Figura 6.26c, exige-se O= 1 dF = lerdA = -amá x { y dA C }A Visto que cr má /c não é igual a zero, então (6.10) Em outras palavras, o momento de primeira ordem da área da seção transversal do elemento em torno do eixo neutro deve ser nulo. Essa condição só pode ser satisfeita se o eixo neutro também for o eixo do centroide horizontal para a seção transversal analisada.' Por consequência, uma vez determinado o centroide para a área da seção transversal do elemento, a localização do eixo é conhecida. Podemos determinar a tensão na viga pelo fato de que o momento interno resultante M deve ser igual ao momento produzido pela distribuição de tensão em torno do eixo neutro. O momento de dF na Figura 6.26c em torno do eixo neutro é dM = y dF. Esse momento é positivo, visto que, pela regra da mão direita, o polegar está direcionado ao longo do eixo z positivo quando os dedos são curvados no sentido da rotação causada por dM. Uma vez que dF = crdA, pela Equação 6.9, temos, para toda a seção transversal, ou M = cr max c 1 , A i dA (6.11) ' Lembre-se de que a localização y para o centroide da área da seção transversal é definida pela equação y = J y dAI J dA. Se J y dA = O, então, y = O e, portanto, o centroide encontra-se no eixo de referência (neutro). Veja o Apêndice A.
FLEXÃO 205 Nessa expressão, a integral representa o momento de inércia da área da seção transversal, calculada em torno do eixo neutro. Esse valor é representado pela letra I. Por consequência, a Equação 6.11 pode ser resolvida para cr máx e escrita em sua forma geral como Nessa expressão, (6.12) cr máx = tensão normal máxima no elemento, que ocorre em um ponto na área da seção transversal mais afastado do eixo neutro M = momento interno resultante, determinado pelo método das seções e pelas equações de equilíbrio e calculado em torno do eixo neutro da seção transversal I = momento de inércia da área da seção transversal calculada em torno do eixo neutro c = distância perpendicular do eixo neutro a um ponto mais afastado do eixo neutro, onde (T máx age. Visto que cr má/c = -crly (Equação 6.9), a tensão normal em uma distância intermediária y pode ser determinada por uma equação semelhante à Equação 6.12. Temos (6.13) Observe que o sinal negativo é necessário, já que está de acordo com os eixos x, y e z definidos. Pela regra da mão direita, M é positivo ao longo do eixo +z, y é positivo para cima e, portanto, cr deve ser negativa (compressão), uma vez que age na direção negativa de x (Figura 6.26c ). Qualquer das duas equações (6.12 e 6.13) é denominada fónnula da flexão. Essa fórmula é usada para determinar a tensão normal em um elemento reto, com seção transversal simétrica em relação a um eixo, e momento aplicado perpendicularmente a esse eixo. Embora tenhamos considerado que o elemento seja prismático, na maioria dos projetas de engenharia também podemos usar a fórmula da flexão para determinar a tensão normal em elementos que tenham ligeira conicidade. Por exemplo, por análise matemática baseada na teoria da elasticidade, um elemento com seção transversal retangular e comprimento com 15° de conicidade terá uma tensão normal máxima real aproximadamente 5,4% menor que a calculada pela fórmula da flexão. Alsecao transvrsal de uma vigaretapermanece.plana quando a viga se deforma por flexão. Isso provoca uma tensão tração de um lado da viga e uma tensão de compressão do outro lado. O eixo neutro é submetido à tensão nula. conta da deformação, a deformação longitudinal varia linearmente de zero no eixo neutro a máxima nas fibras ex Contanto que o materialseja homogêneo e a lei de Hooke se aplique, a tensão também varia linearmente na seção transversal. Quando o material é linear elástico, o eixo neutro passa pelo centraide da área da seção trànsversal , Bssa conclusãÇJ se baseia.no fato de que a força nm:maf.rsultatite que age na seção transversal deve ser nula. fórmula da flexão baseictse no fato de que o momento resultante na seção transversal é igual ao momento produzido pela distribuição linear da tensão normal em torno do eixo neutro. Para aplicar a fórmula da flexão, sugerimos o seguinte procedimento. Momento interno '"Tome uma seção do elemento no ponto onde a flexão ou tensão normal deve ser determinada e obtenha o momento interno M na seção. O eixo do centroide ou eixo neutro para a seção transversal tem de ser conhecido, visto que M deve ser calculado em torno desse eixo. • Se a tensão de flexão máxima absoluta tiver de ser determinada, represente graficamente o diagrama de momento fletor para determinar o momento máximo na viga. Propriedade da seção • Determine o momento de inércia da área da seção transversal em torno do eixo neutro. Os métodos usados para esse cálculo são discutidos no Apêndice A, e a tabela que apresenta os valores de I para várias formas comuns é dada no final deste livro.
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FLEXÃO 205<br />
Nessa expressão, a integral representa o momento<br />
de inércia da área da seção transversal, calculada em<br />
torno do eixo neutro. Esse valor é representado pela<br />
letra I. Por consequência, a Equação 6.11 pode ser resolvida<br />
para cr máx e escrita em sua forma geral como<br />
Nessa expressão,<br />
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(6.12)<br />
cr máx = tensão normal máxima no elemento, que<br />
ocorre em um ponto na área da seção transversal<br />
mais afastado do eixo neutro<br />
M = momento interno resultante, determinado<br />
pelo método das seções e pelas equações<br />
de equilíbrio e calculado em torno do eixo<br />
neutro da seção transversal<br />
I = momento de inércia da área da seção transversal<br />
calculada em torno do eixo neutro<br />
c = distância perpendicular do eixo neutro a<br />
um ponto mais afastado do eixo neutro,<br />
onde (T máx age.<br />
Visto que cr má/c = -crly (Equação 6.9), a tensão<br />
normal em uma distância interm<strong>ed</strong>iária y pode ser<br />
determinada por uma equação semelhante à Equação<br />
6.12. Temos<br />
(6.13)<br />
Observe que o sinal negativo é necessário, já que<br />
está de acordo com os eixos x, y e z definidos. Pela regra<br />
da mão direita, M é positivo ao longo do eixo +z,<br />
y é positivo para cima e, portanto, cr deve ser negativa<br />
(compressão), uma vez que age na direção negativa de<br />
x (Figura 6.26c ).<br />
Qualquer das duas equações (6.12 e 6.13) é denominada<br />
fónnula da flexão. Essa fórmula é usada para<br />
determinar a tensão normal em um elemento reto,<br />
com seção transversal simétrica em relação a um eixo,<br />
e momento aplicado perpendicularmente a esse eixo.<br />
Embora tenhamos considerado que o elemento seja prismático,<br />
na maioria dos projetas de engenharia também<br />
podemos usar a fórmula da flexão para determinar a tensão<br />
normal em elementos que tenham ligeira conicidade.<br />
Por exemplo, por análise matemática baseada na teoria<br />
da elasticidade, um elemento com seção transversal retangular<br />
e comprimento com 15° de conicidade terá uma<br />
tensão normal máxima real aproximadamente 5,4% menor<br />
que a calculada pela fórmula da flexão.<br />
Alsecao transvrsal de uma vigaretapermanece.plana quando a viga se deforma por flexão. Isso provoca uma tensão<br />
tração de um lado da viga e uma tensão de compressão do outro lado. O eixo neutro é submetido à tensão nula.<br />
conta da deformação, a deformação longitudinal varia linearmente de zero no eixo neutro a máxima nas fibras ex<br />
Contanto que o materialseja homogêneo e a lei de Hooke se aplique, a tensão também varia linearmente<br />
na seção transversal.<br />
Quando o material é linear elástico, o eixo neutro passa pelo centraide da área da seção trànsversal , Bssa conclusãÇJ<br />
se baseia.no fato de que a força nm:maf.rsultatite que age na seção transversal deve ser nula.<br />
fórmula da flexão baseictse no fato de que o momento resultante na seção transversal é igual ao momento produzido<br />
pela distribuição linear da tensão normal em torno do eixo neutro.<br />
Para aplicar a fórmula da flexão, sugerimos o seguinte proc<strong>ed</strong>imento.<br />
Momento interno<br />
'"Tome uma seção do elemento no ponto onde a flexão ou tensão normal deve ser determinada e obtenha o momento<br />
interno M na seção. O eixo do centroide ou eixo neutro para a seção transversal tem de ser conhecido, visto que M<br />
deve ser calculado em torno desse eixo.<br />
• Se a tensão de flexão máxima absoluta tiver de ser determinada, represente graficamente o diagrama de momento<br />
fletor para determinar o momento máximo na viga.<br />
Propri<strong>ed</strong>ade da seção<br />
• Determine o momento de inércia da área da seção transversal em torno do eixo neutro. Os métodos usados para<br />
esse cálculo são discutidos no Apêndice A, e a tabela que apresenta os valores de I para várias formas comuns é<br />
dada no final deste livro.