Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)
Escolhendo a raiz positiva, Assim, pela Equação 2, x2 V = O = 30 - 2x - - 9 x = 9,735 m Mmáx = 30(9,735) - (9,735) - = 163kN·m = S7 ::/ '"" !:BBIll . ,: 2 (9,735)3 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na Figura / 6.9a. SOLUÇÃO L+'i,M = O; ;; " 0 !!= "' : Reações nos apoios. minadas e são mostradas As no reações diagrama nos de apoios corpo foram livre da deter viga (Figura 6.9d). Funções cisalhamento e momento fletor. Visto que há uma descontinuidade na carga distribuída e também uma vem carga ser concentrada consideradas no para centro se da descreverem viga, duas as regiões funções de de x de cisalhamento e momento para a viga inteira. O :S x1 < 5 m (Figura 6.9b ): +t'i,F y =o· ' 5,75 kN - V= O V= 5,75kN (1) -80kN·m- 5,75kN x1 =O + M M = (5,75x1 + SO)kN·m 5 m < ::S x2 10m (Figura 6.9c): +t'i,F =o· y ' 5,75kN - 15kN - 5kN/m(x2 - 5m) - V= O L+ · V = (15,75 - 5x2) kN 27 (2) (3) 'i,M = O; -80 kN m - 5,75 kN x2 15 kN(x 2 - 5 m) + ( x 2 - 5m ) + 5 kN/m(x2 - 5 m) + M 2 = O + 92,5) kN m M = ( -2,5x22 + 15,75x2 · (4) Esses resultados podem ser verificados, em parte, observando-se que, aplicando w = -dV/dx e V = dM/dx. Além disso, 5,75 kN 5,75kN V(kN) 5,75kN 15kN (a) 15 (b) kN 5(x2 -5) (c) 5,75 1-----l----..,-x(m) M(kN·m) -34,25 108,75 80 1----'--x(m) (d) Figura 6.9 FLEXÃO 187 quando x1 = O, as equações 1 e 2 dão V= 5,75 kN eM= 80 kN quando · m; x2 = 10m, as Equações 3 e 4 dão V= -34,25 kN e M = O. Esses valores estão de acordo com as reações nos apoios mostradas no diagrama de corpo livre (Figura 6.9d). Diagramas de força cortante e momento fletor. As Equações 1 a 4 são apresentadas nos gráficos da Figura 6.9d.
188 RESISTNCIA DOS MATERIAIS 6.2 Método gráfico para construir diagramas de força cortante e momento fletor Quando uma viga está sujeita a vários carregamentos diferentes, determinar V e M em função de x e representar essas equações em gráfico pode ser bastante tedioso. Nesta seção, discutiremos um método mais simples para construir os diagramas de força cortante e momento fletor - um método baseado em duas relações diferenciais que existem entre carga distribuída, cisalhamento e momento. Regiões de carga distribuída. Com a finalidade de generalizar, considere a viga mostrada na Figura 6.10a, que está sujeita a um carregamento arbitrário. Um diagrama de corpo livre para um pequeno segmento x da viga é mostrado na Figura 6.10b. Visto que esse segmento foi escolhido em uma posição x onde não há nenhuma força concentrada nem momento conjugado, os resultados que serão obtidos não se aplicarão a esses pontos de carregamento concentrado. w(x) r _ I I I I I I I v 1 w(x)llx o (a) 1 I I I I 1--- k(llx) I r)MHM ,"' N V+ llV Llx Diagrama de corpo Área da seção transversal livre do segmento Llx do segmento (b) Figura 6.10 A Observe que todos os carregamentos mostrados no segmento agem em suas direções positivas, de acordo com a convenção de sinal estabelecida (Figura 6.3). Além disso, ambos, cisalhamento e momento internos resultantes, que agem na face direita do segmento, devem sofrer uma pequena mudança finita para manter o segmento em equilíbrio. A carga distribuída foi substituída por uma força resultante w(x) que age a uma distância fracionária k( x) da extremidade direita onde O < k < 1 [por exemplo, se w(x) for uniforme ' ' k = 1/2]. Aplicando as duas equações de equilíbrio ao segmento, temos + i 2-F =O· y ' V-w(x) x - (V + V) = O 1+2-M0 = O; V = -w(x) x -V x - M + w(x) x[k(x)] + (M + M) == o M =V x - w(x) k(x)2 Dividindo por x e calculando o limite quando x --7 O, essas duas equações tornam-se inclinação do diagrama de força cortante em = cada ponto dV - = -w(x) dx dM =V dx -intensidade da carga distribuída em cada ponto inclinação do diagrama cisalhamento de momento em cada = (força cortante) ponto em cada ponto (6.1) (6.2) Essas duas equações proporcionam um meio conveniente para se obter rapidamente os diagramas de força cortante e momento fletor para uma viga. A Equação 6.1 afirma que, em um ponto, a inclinação do diagrama de força cortante é igual à intensidade negativa do carregamento distribuído. Por exemplo, considere a viga na Figura 6.11a. O carregamento distribuído é positivo e aumenta de zero até w 8• Portanto, o diagrama de força cortante será uma curva com inclinação negativa, que decresce de zero até -w8 • Inclinações específicas wA = O, -w c , -wn e -w8 são mostradas na Figura 6.11b. Demaneirasemelhante,aEquação6.2afirmaque,em um ponto, a inclinação do diagrama de momento é igual aocisalhamento (força cortante). Observe que o diagrama de força cortante na Figura 6.11b começa em + V:,,
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188 RESISTNCIA DOS MATERIAIS<br />
6.2 Método gráfico para<br />
construir diagramas de força<br />
cortante e momento fletor<br />
Quando uma viga está sujeita a vários carregamentos<br />
diferentes, determinar V e M em função de x e representar<br />
essas equações em gráfico pode ser bastante<br />
t<strong>ed</strong>ioso. Nesta seção, discutiremos um método mais<br />
simples para construir os diagramas de força cortante<br />
e momento fletor - um método baseado em duas relações<br />
diferenciais que existem entre carga distribuída,<br />
cisalhamento e momento.<br />
Regiões de carga distribuída. Com a finalidade<br />
de generalizar, considere a viga mostrada<br />
na Figura 6.10a, que está sujeita a um carregamento<br />
arbitrário. Um diagrama de corpo livre para um pequeno<br />
segmento x da viga é mostrado na Figura<br />
6.10b. Visto que esse segmento foi escolhido em uma<br />
posição x onde não há nenhuma força concentrada<br />
nem momento conjugado, os resultados que serão<br />
obtidos não se aplicarão a esses pontos de carregamento<br />
concentrado.<br />
w(x) r _<br />
I<br />
I<br />
I<br />
I<br />
I<br />
I<br />
I<br />
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1<br />
w(x)llx<br />
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(a)<br />
1<br />
I<br />
I<br />
I<br />
I<br />
1--- k(llx)<br />
I<br />
r)MHM<br />
,"' N<br />
V+ llV<br />
Llx<br />
Diagrama de corpo Área da seção transversal<br />
livre do segmento Llx do segmento<br />
(b)<br />
Figura 6.10<br />
A<br />
Observe que todos os carregamentos mostrados no<br />
segmento agem em suas direções positivas, de acordo<br />
com a convenção de sinal estabelecida (Figura 6.3).<br />
Além disso, ambos, cisalhamento e momento internos<br />
resultantes, que agem na face direita do segmento, devem<br />
sofrer uma pequena mudança finita para manter<br />
o segmento em equilíbrio. A carga distribuída foi substituída<br />
por uma força resultante w(x) que age a uma<br />
distância fracionária k( x) da extremidade direita<br />
onde O < k < 1 [por exemplo, se w(x) for uniforme '<br />
'<br />
k = 1/2].<br />
Aplicando as duas equações de equilíbrio ao segmento,<br />
temos<br />
+ i 2-F =O·<br />
y ' V-w(x) x - (V + V) = O<br />
1+2-M0 = O;<br />
V = -w(x) x<br />
-V x - M + w(x) x[k(x)] + (M + M) == o<br />
M =V x - w(x) k(x)2<br />
Dividindo por x e calculando o limite quando<br />
x --7 O, essas duas equações tornam-se<br />
inclinação do diagrama<br />
de força cortante em =<br />
cada ponto<br />
dV<br />
- = -w(x)<br />
dx<br />
dM =V<br />
dx<br />
-intensidade da<br />
carga distribuída<br />
em cada ponto<br />
inclinação do diagrama cisalhamento<br />
de momento em cada = (força cortante)<br />
ponto em cada ponto<br />
(6.1)<br />
(6.2)<br />
Essas duas equações proporcionam um meio conveniente<br />
para se obter rapidamente os diagramas de<br />
força cortante e momento fletor para uma viga. A<br />
Equação 6.1 afirma que, em um ponto, a inclinação<br />
do diagrama de força cortante é igual à intensidade<br />
negativa do carregamento distribuído. Por exemplo,<br />
considere a viga na Figura 6.11a. O carregamento distribuído<br />
é positivo e aumenta de zero até w 8• Portanto,<br />
o diagrama de força cortante será uma curva com inclinação<br />
negativa, que decresce de zero até -w8 • Inclinações<br />
específicas wA = O, -w c , -wn e -w8 são mostradas<br />
na Figura 6.11b.<br />
Demaneirasemelhante,aEquação6.2afirmaque,em<br />
um ponto, a inclinação do diagrama de momento é igual<br />
aocisalhamento (força cortante). Observe que o diagrama<br />
de força cortante na Figura 6.11b começa em + V:,,